Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29839 / 22031
↖ ↑ ↗
← N 75.835090°
W 98.044739°		 ← 74.74 m → N 75.835090°
W 98.041992°		 →
↑
74.73 m
↓
↑
74.73 m
↓
N 75.834418°
W 98.044739°		 ← 74.75 m →
5 586 m²		 N 75.834418°
W 98.041992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29839 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227657318115234 y=0.168087005615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227657318115234 × 217)
    floor (0.227657318115234 × 131072)
    floor (29839.5)     		tx = 29839
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.168087005615234 × 217)
    floor (0.168087005615234 × 131072)
    floor (22031.5)     		ty = 22031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29839 / 22031 ti = "17/29839/22031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29839/22031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29839 ÷ 217
    29839 ÷ 131072     		x = 0.227653503417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22031 ÷ 217
    22031 ÷ 131072     		y = 0.168083190917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.227653503417969 × 2 - 1) × π
    -0.544692993164062 × 3.1415926535     		Λ = -1.71120351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.168083190917969 × 2 - 1) × π
    0.663833618164062 × 3.1415926535     		Φ = 2.08549481797054
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71120351} λ = -1.71120351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08549481797054))-π/2
    2×atan(8.04857307512926)-π/2
    2×1.44718416934258-π/2
    2.89436833868516-1.57079632675     		φ = 1.32357201
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71120351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.044739°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32357201 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.835090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29839 KachelY 22031 -1.71120351 1.32357201 -98.044739 75.835090
    Oben rechts KachelX + 1 29840 KachelY 22031 -1.71115557 1.32357201 -98.041992 75.835090
    Unten links KachelX 29839 KachelY + 1 22032 -1.71120351 1.32356028 -98.044739 75.834418
    Unten rechts KachelX + 1 29840 KachelY + 1 22032 -1.71115557 1.32356028 -98.041992 75.834418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32357201-1.32356028) × R
    1.17299999999876e-05 × 6371000     		dl = 74.7318299999209m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32357201-1.32356028) × R
    1.17299999999876e-05 × 6371000     		dr = 74.7318299999209m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71120351--1.71115557) × cos(1.32357201) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.244713615720678 × 6371000     		do = 74.7418371695146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71120351--1.71115557) × cos(1.32356028) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.244724989057924 × 6371000     		du = 74.7453108794593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32357201)-sin(1.32356028))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.244713615720678-0.244724989057924)×R²
    abs(-1.71115557--1.71120351)×1.13733372461011e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.13733372461011e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.13733372461011e-05×40589641000000     		ar = 5585.72406773462m²