Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29838 / 17776
↖ ↑ ↗
← N 63.273182°
W 16.094971°		 ← 274.69 m → N 63.273182°
W 16.089478°		 →
↑
274.72 m
↓
↑
274.72 m
↓
N 63.270712°
W 16.094971°		 ← 274.72 m →
75 466 m²		 N 63.270712°
W 16.089478°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455299377441406 y=0.271247863769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455299377441406 × 216)
    floor (0.455299377441406 × 65536)
    floor (29838.5)     		tx = 29838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271247863769531 × 216)
    floor (0.271247863769531 × 65536)
    floor (17776.5)     		ty = 17776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29838 / 17776 ti = "16/29838/17776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29838/17776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29838 ÷ 216
    29838 ÷ 65536     		x = 0.455291748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17776 ÷ 216
    17776 ÷ 65536     		y = 0.271240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455291748046875 × 2 - 1) × π
    -0.08941650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28091023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271240234375 × 2 - 1) × π
    0.45751953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.43733999820776
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28091023} λ = -0.28091023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43733999820776))-π/2
    2×atan(4.20948367732573)-π/2
    2×1.33756084196913-π/2
    2.67512168393826-1.57079632675     		φ = 1.10432536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28091023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.094971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10432536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.273182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29838 KachelY 17776 -0.28091023 1.10432536 -16.094971 63.273182
    Oben rechts KachelX + 1 29839 KachelY 17776 -0.28081436 1.10432536 -16.089478 63.273182
    Unten links KachelX 29838 KachelY + 1 17777 -0.28091023 1.10428224 -16.094971 63.270712
    Unten rechts KachelX + 1 29839 KachelY + 1 17777 -0.28081436 1.10428224 -16.089478 63.270712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10432536-1.10428224) × R
    4.31199999999521e-05 × 6371000     		dl = 274.717519999695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10432536-1.10428224) × R
    4.31199999999521e-05 × 6371000     		dr = 274.717519999695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28091023--0.28081436) × cos(1.10432536) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.449737097679231 × 6371000     		do = 274.693918977764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28091023--0.28081436) × cos(1.10428224) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.449775610362735 × 6371000     		du = 274.717442053838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10432536)-sin(1.10428224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449737097679231-0.449775610362735)×R²
    abs(-0.28081436--0.28091023)×3.85126835033556e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.85126835033556e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.85126835033556e-05×40589641000000     		ar = 75466.4632924536m²