Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29838 / 15250
↖ ↑ ↗
← N 68.875399°
W 16.094971°		 ← 220.13 m → N 68.875399°
W 16.089478°		 →
↑
220.18 m
↓
↑
220.18 m
↓
N 68.873419°
W 16.094971°		 ← 220.15 m →
48 470 m²		 N 68.873419°
W 16.089478°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455299377441406 y=0.232704162597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455299377441406 × 216)
    floor (0.455299377441406 × 65536)
    floor (29838.5)     		tx = 29838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.232704162597656 × 216)
    floor (0.232704162597656 × 65536)
    floor (15250.5)     		ty = 15250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29838 / 15250 ti = "16/29838/15250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29838/15250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29838 ÷ 216
    29838 ÷ 65536     		x = 0.455291748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15250 ÷ 216
    15250 ÷ 65536     		y = 0.232696533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455291748046875 × 2 - 1) × π
    -0.08941650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28091023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.232696533203125 × 2 - 1) × π
    0.53460693359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.67951721508829
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28091023} λ = -0.28091023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67951721508829))-π/2
    2×atan(5.36296618686085)-π/2
    2×1.38644940229751-π/2
    2.77289880459502-1.57079632675     		φ = 1.20210248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28091023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.094971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20210248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.875399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29838 KachelY 15250 -0.28091023 1.20210248 -16.094971 68.875399
    Oben rechts KachelX + 1 29839 KachelY 15250 -0.28081436 1.20210248 -16.089478 68.875399
    Unten links KachelX 29838 KachelY + 1 15251 -0.28091023 1.20206792 -16.094971 68.873419
    Unten rechts KachelX + 1 29839 KachelY + 1 15251 -0.28081436 1.20206792 -16.089478 68.873419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20210248-1.20206792) × R
    3.45600000000168e-05 × 6371000     		dl = 220.181760000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20210248-1.20206792) × R
    3.45600000000168e-05 × 6371000     		dr = 220.181760000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28091023--0.28081436) × cos(1.20210248) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.360397361496087 × 6371000     		do = 220.126300742074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28091023--0.28081436) × cos(1.20206792) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.360429598809984 × 6371000     		du = 220.14599089914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20210248)-sin(1.20206792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360397361496087-0.360429598809984)×R²
    abs(-0.28081436--0.28091023)×3.223731389701e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.223731389701e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.223731389701e-05×40589641000000     		ar = 48469.9640315694m²