Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29837 / 15249
↖ ↑ ↗
← N 68.877378°
W 16.100464°		 ← 220.13 m → N 68.877378°
W 16.094971°		 →
↑
220.12 m
↓
↑
220.12 m
↓
N 68.875399°
W 16.100464°		 ← 220.15 m →
48 457 m²		 N 68.875399°
W 16.094971°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455284118652344 y=0.232688903808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455284118652344 × 216)
    floor (0.455284118652344 × 65536)
    floor (29837.5)     		tx = 29837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.232688903808594 × 216)
    floor (0.232688903808594 × 65536)
    floor (15249.5)     		ty = 15249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29837 / 15249 ti = "16/29837/15249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29837/15249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29837 ÷ 216
    29837 ÷ 65536     		x = 0.455276489257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15249 ÷ 216
    15249 ÷ 65536     		y = 0.232681274414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455276489257812 × 2 - 1) × π
    -0.089447021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28100611
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.232681274414062 × 2 - 1) × π
    0.534637451171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.67961308888753
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28100611} λ = -0.28100611}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67961308888753))-π/2
    2×atan(5.36348037945279)-π/2
    2×1.38646667785725-π/2
    2.7729333557145-1.57079632675     		φ = 1.20213703
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28100611} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.100464°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20213703 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.877378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29837 KachelY 15249 -0.28100611 1.20213703 -16.100464 68.877378
    Oben rechts KachelX + 1 29838 KachelY 15249 -0.28091023 1.20213703 -16.094971 68.877378
    Unten links KachelX 29837 KachelY + 1 15250 -0.28100611 1.20210248 -16.100464 68.875399
    Unten rechts KachelX + 1 29838 KachelY + 1 15250 -0.28091023 1.20210248 -16.094971 68.875399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20213703-1.20210248) × R
    3.45500000000776e-05 × 6371000     		dl = 220.118050000494m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20213703-1.20210248) × R
    3.45500000000776e-05 × 6371000     		dr = 220.118050000494m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28100611--0.28091023) × cos(1.20213703) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.360365133079847 × 6371000     		do = 220.129574882204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28100611--0.28091023) × cos(1.20210248) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.360397361496087 × 6371000     		du = 220.149261657963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20213703)-sin(1.20210248))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360365133079847-0.360397361496087)×R²
    abs(-0.28091023--0.28100611)×3.2228416240121e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.2228416240121e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.2228416240121e-05×40589641000000     		ar = 48456.6594825323m²