Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29836 / 17819
↖ ↑ ↗
← N 63.166756°
W 16.105957°		 ← 275.71 m → N 63.166756°
W 16.100464°		 →
↑
275.74 m
↓
↑
275.74 m
↓
N 63.164276°
W 16.105957°		 ← 275.73 m →
76 026 m²		 N 63.164276°
W 16.100464°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455268859863281 y=0.271903991699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455268859863281 × 216)
    floor (0.455268859863281 × 65536)
    floor (29836.5)     		tx = 29836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271903991699219 × 216)
    floor (0.271903991699219 × 65536)
    floor (17819.5)     		ty = 17819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29836 / 17819 ti = "16/29836/17819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29836/17819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29836 ÷ 216
    29836 ÷ 65536     		x = 0.45526123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17819 ÷ 216
    17819 ÷ 65536     		y = 0.271896362304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45526123046875 × 2 - 1) × π
    -0.0894775390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28110198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271896362304688 × 2 - 1) × π
    0.456207275390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.43321742484044
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28110198} λ = -0.28110198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43321742484044))-π/2
    2×atan(4.19216549429521)-π/2
    2×1.33663209657843-π/2
    2.67326419315686-1.57079632675     		φ = 1.10246787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28110198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.105957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10246787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.166756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29836 KachelY 17819 -0.28110198 1.10246787 -16.105957 63.166756
    Oben rechts KachelX + 1 29837 KachelY 17819 -0.28100611 1.10246787 -16.100464 63.166756
    Unten links KachelX 29836 KachelY + 1 17820 -0.28110198 1.10242459 -16.105957 63.164276
    Unten rechts KachelX + 1 29837 KachelY + 1 17820 -0.28100611 1.10242459 -16.100464 63.164276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10246787-1.10242459) × R
    4.32799999998679e-05 × 6371000     		dl = 275.736879999158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10246787-1.10242459) × R
    4.32799999998679e-05 × 6371000     		dr = 275.736879999158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28110198--0.28100611) × cos(1.10246787) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.451395358464215 × 6371000     		do = 275.706764384702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28110198--0.28100611) × cos(1.10242459) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.451433977826808 × 6371000     		du = 275.730352619059m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10246787)-sin(1.10242459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451395358464215-0.451433977826808)×R²
    abs(-0.28100611--0.28110198)×3.86193625929176e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.86193625929176e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.86193625929176e-05×40589641000000     		ar = 76025.7750910819m²