Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29835 / 29323
↖ ↑ ↗
← S 80.435808°
E147.777100°		 ← 202.97 m → S 80.435808°
E147.788086°		 →
↑
202.98 m
↓
↑
202.98 m
↓
S 80.437633°
E147.777100°		 ← 202.93 m →
41 195 m²		 S 80.437633°
E147.788086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29835 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910507202148438 y=0.894882202148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910507202148438 × 215)
    floor (0.910507202148438 × 32768)
    floor (29835.5)     		tx = 29835
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894882202148438 × 215)
    floor (0.894882202148438 × 32768)
    floor (29323.5)     		ty = 29323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29835 / 29323 ti = "15/29835/29323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29835/29323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29835 ÷ 215
    29835 ÷ 32768     		x = 0.910491943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29323 ÷ 215
    29323 ÷ 32768     		y = 0.894866943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910491943359375 × 2 - 1) × π
    0.82098388671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.57919695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.894866943359375 × 2 - 1) × π
    -0.78973388671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.48102217673563
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57919695} λ = 2.57919695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48102217673563))-π/2
    2×atan(0.0836576689496835)-π/2
    2×0.0834633220508938-π/2
    0.166926644101788-1.57079632675     		φ = -1.40386968
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57919695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.777100°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40386968 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.435808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29835 KachelY 29323 2.57919695 -1.40386968 147.777100 -80.435808
    Oben rechts KachelX + 1 29836 KachelY 29323 2.57938869 -1.40386968 147.788086 -80.435808
    Unten links KachelX 29835 KachelY + 1 29324 2.57919695 -1.40390154 147.777100 -80.437633
    Unten rechts KachelX + 1 29836 KachelY + 1 29324 2.57938869 -1.40390154 147.788086 -80.437633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40386968--1.40390154) × R
    3.18599999999947e-05 × 6371000     		dl = 202.980059999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40386968--1.40390154) × R
    3.18599999999947e-05 × 6371000     		dr = 202.980059999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57919695-2.57938869) × cos(-1.40386968) × R
    0.000191739999999996 × 0.16615250472789 × 6371000     		do = 202.96783568532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57919695-2.57938869) × cos(-1.40390154) × R
    0.000191739999999996 × 0.166121087495384 × 6371000     		du = 202.929457162557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40386968)-sin(-1.40390154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16615250472789-0.166121087495384)×R²
    abs(2.57938869-2.57919695)×3.14172325056872e-05×R²
    0.000191739999999996×3.14172325056872e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.14172325056872e-05×40589641000000     		ar = 41194.5284312983m²