Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29835 / 17817
↖ ↑ ↗
← N 63.171714°
W 16.111450°		 ← 275.66 m → N 63.171714°
W 16.105957°		 →
↑
275.67 m
↓
↑
275.67 m
↓
N 63.169235°
W 16.111450°		 ← 275.68 m →
75 995 m²		 N 63.169235°
W 16.105957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29835 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455253601074219 y=0.271873474121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455253601074219 × 216)
    floor (0.455253601074219 × 65536)
    floor (29835.5)     		tx = 29835
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271873474121094 × 216)
    floor (0.271873474121094 × 65536)
    floor (17817.5)     		ty = 17817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29835 / 17817 ti = "16/29835/17817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29835/17817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29835 ÷ 216
    29835 ÷ 65536     		x = 0.455245971679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17817 ÷ 216
    17817 ÷ 65536     		y = 0.271865844726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455245971679688 × 2 - 1) × π
    -0.089508056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28119785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271865844726562 × 2 - 1) × π
    0.456268310546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.43340917243892
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28119785} λ = -0.28119785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43340917243892))-π/2
    2×atan(4.19296940903307)-π/2
    2×1.33667536986451-π/2
    2.67335073972902-1.57079632675     		φ = 1.10255441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28119785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.111450°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10255441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.171714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29835 KachelY 17817 -0.28119785 1.10255441 -16.111450 63.171714
    Oben rechts KachelX + 1 29836 KachelY 17817 -0.28110198 1.10255441 -16.105957 63.171714
    Unten links KachelX 29835 KachelY + 1 17818 -0.28119785 1.10251114 -16.111450 63.169235
    Unten rechts KachelX + 1 29836 KachelY + 1 17818 -0.28110198 1.10251114 -16.105957 63.169235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10255441-1.10251114) × R
    4.32699999999286e-05 × 6371000     		dl = 275.673169999545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10255441-1.10251114) × R
    4.32699999999286e-05 × 6371000     		dr = 275.673169999545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28119785--0.28110198) × cos(1.10255441) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.451318135049758 × 6371000     		do = 275.659597267754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28119785--0.28110198) × cos(1.10251114) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.451356747179523 × 6371000     		du = 275.683181084388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10255441)-sin(1.10251114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451318135049758-0.451356747179523)×R²
    abs(-0.28110198--0.28119785)×3.86121297640818e-05×R²
    9.58700000000534e-05×3.86121297640818e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×3.86121297640818e-05×40589641000000     		ar = 75995.2057443133m²