Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29833 / 22007
↖ ↑ ↗
← N 75.851212°
W 98.061218°		 ← 74.66 m → N 75.851212°
W 98.058472°		 →
↑
74.60 m
↓
↑
74.60 m
↓
N 75.850541°
W 98.061218°		 ← 74.66 m →
5 570 m²		 N 75.850541°
W 98.058472°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227611541748047 y=0.167903900146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227611541748047 × 217)
    floor (0.227611541748047 × 131072)
    floor (29833.5)     		tx = 29833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167903900146484 × 217)
    floor (0.167903900146484 × 131072)
    floor (22007.5)     		ty = 22007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29833 / 22007 ti = "17/29833/22007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29833/22007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29833 ÷ 217
    29833 ÷ 131072     		x = 0.227607727050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22007 ÷ 217
    22007 ÷ 131072     		y = 0.167900085449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.227607727050781 × 2 - 1) × π
    -0.544784545898438 × 3.1415926535     		Λ = -1.71149113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.167900085449219 × 2 - 1) × π
    0.664199829101562 × 3.1415926535     		Φ = 2.08664530356142
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71149113} λ = -1.71149113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08664530356142))-π/2
    2×atan(8.05783817113713)-π/2
    2×1.44732486059853-π/2
    2.89464972119706-1.57079632675     		φ = 1.32385339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71149113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.061218°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32385339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.851212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29833 KachelY 22007 -1.71149113 1.32385339 -98.061218 75.851212
    Oben rechts KachelX + 1 29834 KachelY 22007 -1.71144319 1.32385339 -98.058472 75.851212
    Unten links KachelX 29833 KachelY + 1 22008 -1.71149113 1.32384168 -98.061218 75.850541
    Unten rechts KachelX + 1 29834 KachelY + 1 22008 -1.71144319 1.32384168 -98.058472 75.850541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32385339-1.32384168) × R
    1.17100000001091e-05 × 6371000     		dl = 74.6044100006953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32385339-1.32384168) × R
    1.17100000001091e-05 × 6371000     		dr = 74.6044100006953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71149113--1.71144319) × cos(1.32385339) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.244440781282107 × 6371000     		do = 74.6585065092167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71149113--1.71144319) × cos(1.32384168) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.244452136033393 × 6371000     		du = 74.6619745425309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32385339)-sin(1.32384168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.244440781282107-0.244452136033393)×R²
    abs(-1.71144319--1.71149113)×1.13547512862466e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.13547512862466e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.13547512862466e-05×40589641000000     		ar = 5569.98319500269m²