Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29832 / 22008
↖ ↑ ↗
← N 75.850541°
W 98.063965°		 ← 74.65 m → N 75.850541°
W 98.061218°		 →
↑
74.67 m
↓
↑
74.67 m
↓
N 75.849870°
W 98.063965°		 ← 74.65 m →
5 574 m²		 N 75.849870°
W 98.061218°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227603912353516 y=0.167911529541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227603912353516 × 217)
    floor (0.227603912353516 × 131072)
    floor (29832.5)     		tx = 29832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167911529541016 × 217)
    floor (0.167911529541016 × 131072)
    floor (22008.5)     		ty = 22008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29832 / 22008 ti = "17/29832/22008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29832/22008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29832 ÷ 217
    29832 ÷ 131072     		x = 0.22760009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22008 ÷ 217
    22008 ÷ 131072     		y = 0.16790771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22760009765625 × 2 - 1) × π
    -0.5447998046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.71153906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16790771484375 × 2 - 1) × π
    0.6641845703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.0865973666618
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71153906} λ = -1.71153906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.0865973666618))-π/2
    2×atan(8.05745191261566)-π/2
    2×1.44731900159587-π/2
    2.89463800319173-1.57079632675     		φ = 1.32384168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71153906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.063965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32384168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.850541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29832 KachelY 22008 -1.71153906 1.32384168 -98.063965 75.850541
    Oben rechts KachelX + 1 29833 KachelY 22008 -1.71149113 1.32384168 -98.061218 75.850541
    Unten links KachelX 29832 KachelY + 1 22009 -1.71153906 1.32382996 -98.063965 75.849870
    Unten rechts KachelX + 1 29833 KachelY + 1 22009 -1.71149113 1.32382996 -98.061218 75.849870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32384168-1.32382996) × R
    1.17199999998263e-05 × 6371000     		dl = 74.6681199988934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32384168-1.32382996) × R
    1.17199999998263e-05 × 6371000     		dr = 74.6681199988934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71153906--1.71149113) × cos(1.32384168) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.244452136033393 × 6371000     		do = 74.6464004970388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71153906--1.71149113) × cos(1.32382996) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.244463500447744 × 6371000     		du = 74.6498707576747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32384168)-sin(1.32382996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.244452136033393-0.244463500447744)×R²
    abs(-1.71149113--1.71153906)×1.13644143506786e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.13644143506786e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.13644143506786e-05×40589641000000     		ar = 5573.83594894046m²