Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29831 / 29319
↖ ↑ ↗
← S 80.428504°
E147.733154°		 ← 203.12 m → S 80.428504°
E147.744140°		 →
↑
203.11 m
↓
↑
203.11 m
↓
S 80.430330°
E147.733154°		 ← 203.08 m →
41 252 m²		 S 80.430330°
E147.744140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910385131835938 y=0.894760131835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910385131835938 × 215)
    floor (0.910385131835938 × 32768)
    floor (29831.5)     		tx = 29831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894760131835938 × 215)
    floor (0.894760131835938 × 32768)
    floor (29319.5)     		ty = 29319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29831 / 29319 ti = "15/29831/29319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29831/29319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29831 ÷ 215
    29831 ÷ 32768     		x = 0.910369873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29319 ÷ 215
    29319 ÷ 32768     		y = 0.894744873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910369873046875 × 2 - 1) × π
    0.82073974609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.57842996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.894744873046875 × 2 - 1) × π
    -0.78948974609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.48025518634171
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57842996} λ = 2.57842996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48025518634171))-π/2
    2×atan(0.0837218581912649)-π/2
    2×0.083527064839459-π/2
    0.167054129678918-1.57079632675     		φ = -1.40374220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57842996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.733154°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40374220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.428504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29831 KachelY 29319 2.57842996 -1.40374220 147.733154 -80.428504
    Oben rechts KachelX + 1 29832 KachelY 29319 2.57862170 -1.40374220 147.744140 -80.428504
    Unten links KachelX 29831 KachelY + 1 29320 2.57842996 -1.40377408 147.733154 -80.430330
    Unten rechts KachelX + 1 29832 KachelY + 1 29320 2.57862170 -1.40377408 147.744140 -80.430330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40374220--1.40377408) × R
    3.18800000000952e-05 × 6371000     		dl = 203.107480000606m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40374220--1.40377408) × R
    3.18800000000952e-05 × 6371000     		dr = 203.107480000606m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57842996-2.57862170) × cos(-1.40374220) × R
    0.000191739999999996 × 0.166278211414202 × 6371000     		do = 203.121395898533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57842996-2.57862170) × cos(-1.40377408) × R
    0.000191739999999996 × 0.166246775135035 × 6371000     		du = 203.082994108834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40374220)-sin(-1.40377408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166278211414202-0.166246775135035)×R²
    abs(2.57862170-2.57842996)×3.14362791673239e-05×R²
    0.000191739999999996×3.14362791673239e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.14362791673239e-05×40589641000000     		ar = 41251.5750132933m²