Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29831 / 21629
↖ ↑ ↗
← N 76.102775°
W 98.066711°		 ← 73.36 m → N 76.102775°
W 98.063965°		 →
↑
73.39 m
↓
↑
73.39 m
↓
N 76.102115°
W 98.066711°		 ← 73.36 m →
5 384 m²		 N 76.102115°
W 98.063965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227596282958984 y=0.165019989013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227596282958984 × 217)
    floor (0.227596282958984 × 131072)
    floor (29831.5)     		tx = 29831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165019989013672 × 217)
    floor (0.165019989013672 × 131072)
    floor (21629.5)     		ty = 21629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29831 / 21629 ti = "17/29831/21629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29831/21629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29831 ÷ 217
    29831 ÷ 131072     		x = 0.227592468261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21629 ÷ 217
    21629 ÷ 131072     		y = 0.165016174316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.227592468261719 × 2 - 1) × π
    -0.544815063476562 × 3.1415926535     		Λ = -1.71158700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.165016174316406 × 2 - 1) × π
    0.669967651367188 × 3.1415926535     		Φ = 2.10476545161781
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71158700} λ = -1.71158700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10476545161781))-π/2
    2×atan(8.2051782725932)-π/2
    2×1.44952016227989-π/2
    2.89904032455979-1.57079632675     		φ = 1.32824400
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71158700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.066711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32824400 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.102775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29831 KachelY 21629 -1.71158700 1.32824400 -98.066711 76.102775
    Oben rechts KachelX + 1 29832 KachelY 21629 -1.71153906 1.32824400 -98.063965 76.102775
    Unten links KachelX 29831 KachelY + 1 21630 -1.71158700 1.32823248 -98.066711 76.102115
    Unten rechts KachelX + 1 29832 KachelY + 1 21630 -1.71153906 1.32823248 -98.063965 76.102115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32824400-1.32823248) × R
    1.15199999999316e-05 × 6371000     		dl = 73.3939199995641m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32824400-1.32823248) × R
    1.15199999999316e-05 × 6371000     		dr = 73.3939199995641m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71158700--1.71153906) × cos(1.32824400) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.240181021434288 × 6371000     		do = 73.3574662054752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71158700--1.71153906) × cos(1.32823248) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.240192204206257 × 6371000     		du = 73.3608817118791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32824400)-sin(1.32823248))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.240181021434288-0.240192204206257)×R²
    abs(-1.71153906--1.71158700)×1.1182771969126e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.1182771969126e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.1182771969126e-05×40589641000000     		ar = 5384.11734489177m²