Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29831 / 17877
↖ ↑ ↗
← N 63.022583°
W 16.133423°		 ← 277.11 m → N 63.022583°
W 16.127929°		 →
↑
277.14 m
↓
↑
277.14 m
↓
N 63.020090°
W 16.133423°		 ← 277.13 m →
76 800 m²		 N 63.020090°
W 16.127929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455192565917969 y=0.272789001464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455192565917969 × 216)
    floor (0.455192565917969 × 65536)
    floor (29831.5)     		tx = 29831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272789001464844 × 216)
    floor (0.272789001464844 × 65536)
    floor (17877.5)     		ty = 17877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29831 / 17877 ti = "16/29831/17877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29831/17877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29831 ÷ 216
    29831 ÷ 65536     		x = 0.455184936523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17877 ÷ 216
    17877 ÷ 65536     		y = 0.272781372070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455184936523438 × 2 - 1) × π
    -0.089630126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28158135
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272781372070312 × 2 - 1) × π
    0.454437255859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.42765674448451
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28158135} λ = -0.28158135}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42765674448451))-π/2
    2×atan(4.16891889533634)-π/2
    2×1.33537394639644-π/2
    2.67074789279287-1.57079632675     		φ = 1.09995157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28158135} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.133423°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09995157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.022583°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29831 KachelY 17877 -0.28158135 1.09995157 -16.133423 63.022583
    Oben rechts KachelX + 1 29832 KachelY 17877 -0.28148547 1.09995157 -16.127929 63.022583
    Unten links KachelX 29831 KachelY + 1 17878 -0.28158135 1.09990807 -16.133423 63.020090
    Unten rechts KachelX + 1 29832 KachelY + 1 17878 -0.28148547 1.09990807 -16.127929 63.020090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09995157-1.09990807) × R
    4.35000000000851e-05 × 6371000     		dl = 277.138500000542m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09995157-1.09990807) × R
    4.35000000000851e-05 × 6371000     		dr = 277.138500000542m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28158135--0.28148547) × cos(1.09995157) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.453639282066061 × 6371000     		do = 277.10622683617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28158135--0.28148547) × cos(1.09990807) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.453678048201374 × 6371000     		du = 277.129907187299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09995157)-sin(1.09990807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453639282066061-0.453678048201374)×R²
    abs(-0.28148547--0.28158135)×3.87661353123958e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.87661353123958e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.87661353123958e-05×40589641000000     		ar = 76800.0854267523m²