Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29830 / 29316
↖ ↑ ↗
← S 80.423022°
E147.722168°		 ← 203.25 m → S 80.423022°
E147.733154°		 →
↑
203.23 m
↓
↑
203.23 m
↓
S 80.424849°
E147.722168°		 ← 203.21 m →
41 303 m²		 S 80.424849°
E147.733154°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29830 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910354614257812 y=0.894668579101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910354614257812 × 215)
    floor (0.910354614257812 × 32768)
    floor (29830.5)     		tx = 29830
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894668579101562 × 215)
    floor (0.894668579101562 × 32768)
    floor (29316.5)     		ty = 29316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29830 / 29316 ti = "15/29830/29316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29830/29316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29830 ÷ 215
    29830 ÷ 32768     		x = 0.91033935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29316 ÷ 215
    29316 ÷ 32768     		y = 0.8946533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91033935546875 × 2 - 1) × π
    0.8206787109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.57823821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8946533203125 × 2 - 1) × π
    -0.789306640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.47967994354626
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57823821} λ = 2.57823821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47967994354626))-π/2
    2×atan(0.0837700324416271)-π/2
    2×0.0835749035783968-π/2
    0.167149807156794-1.57079632675     		φ = -1.40364652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57823821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.722168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40364652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.423022°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29830 KachelY 29316 2.57823821 -1.40364652 147.722168 -80.423022
    Oben rechts KachelX + 1 29831 KachelY 29316 2.57842996 -1.40364652 147.733154 -80.423022
    Unten links KachelX 29830 KachelY + 1 29317 2.57823821 -1.40367842 147.722168 -80.424849
    Unten rechts KachelX + 1 29831 KachelY + 1 29317 2.57842996 -1.40367842 147.733154 -80.424849
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40364652--1.40367842) × R
    3.19000000001957e-05 × 6371000     		dl = 203.234900001247m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40364652--1.40367842) × R
    3.19000000001957e-05 × 6371000     		dr = 203.234900001247m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57823821-2.57842996) × cos(-1.40364652) × R
    0.000191749999999935 × 0.166372558680129 × 6371000     		do = 203.247247806505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57823821-2.57842996) × cos(-1.40367842) × R
    0.000191749999999935 × 0.166341103186887 × 6371000     		du = 203.208820541332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40364652)-sin(-1.40367842))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166372558680129-0.166341103186887)×R²
    abs(2.57842996-2.57823821)×3.14554932420719e-05×R²
    0.000191749999999935×3.14554932420719e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.14554932420719e-05×40589641000000     		ar = 41303.0292059796m²