Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 29829 / 29320
↖ ↑ ↗
← S 80.430330°
E147.711182°		 ← 203.09 m → S 80.430330°
E147.722168°		 →
↑
203.04 m
↓
↑
203.04 m
↓
S 80.432156°
E147.711182°		 ← 203.06 m →
41 233 m²		 S 80.432156°
E147.722168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29829 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910324096679688 y=0.894790649414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910324096679688 × 215)
    floor (0.910324096679688 × 32768)
    floor (29829.5)     		tx = 29829
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894790649414062 × 215)
    floor (0.894790649414062 × 32768)
    floor (29320.5)     		ty = 29320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29829 / 29320 ti = "15/29829/29320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29829/29320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29829 ÷ 215
    29829 ÷ 32768     		x = 0.910308837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29320 ÷ 215
    29320 ÷ 32768     		y = 0.894775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910308837890625 × 2 - 1) × π
    0.82061767578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.57804646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.894775390625 × 2 - 1) × π
    -0.78955078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.48044693394019
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57804646} λ = 2.57804646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48044693394019))-π/2
    2×atan(0.0837058062650247)-π/2
    2×0.0835111246223517-π/2
    0.167022249244703-1.57079632675     		φ = -1.40377408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57804646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.711182°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40377408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.430330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29829 KachelY 29320 2.57804646 -1.40377408 147.711182 -80.430330
    Oben rechts KachelX + 1 29830 KachelY 29320 2.57823821 -1.40377408 147.722168 -80.430330
    Unten links KachelX 29829 KachelY + 1 29321 2.57804646 -1.40380595 147.711182 -80.432156
    Unten rechts KachelX + 1 29830 KachelY + 1 29321 2.57823821 -1.40380595 147.722168 -80.432156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40377408--1.40380595) × R
    3.18699999999339e-05 × 6371000     		dl = 203.043769999579m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40377408--1.40380595) × R
    3.18699999999339e-05 × 6371000     		dr = 203.043769999579m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57804646-2.57823821) × cos(-1.40377408) × R
    0.000191749999999935 × 0.166246775135035 × 6371000     		do = 203.093585690813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57804646-2.57823821) × cos(-1.40380595) × R
    0.000191749999999935 × 0.1662153485478 × 6371000     		du = 203.055193738354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40377408)-sin(-1.40380595))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166246775135035-0.1662153485478)×R²
    abs(2.57823821-2.57804646)×3.14265872347064e-05×R²
    0.000191749999999935×3.14265872347064e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.14265872347064e-05×40589641000000     		ar = 41232.989681445m²