Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 29829 / 29318
↖ ↑ ↗
← S 80.426676°
E147.711182°		 ← 203.17 m → S 80.426676°
E147.722168°		 →
↑
203.17 m
↓
↑
203.17 m
↓
S 80.428504°
E147.711182°		 ← 203.13 m →
41 274 m²		 S 80.428504°
E147.722168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29829 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910324096679688 y=0.894729614257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910324096679688 × 215)
    floor (0.910324096679688 × 32768)
    floor (29829.5)     		tx = 29829
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894729614257812 × 215)
    floor (0.894729614257812 × 32768)
    floor (29318.5)     		ty = 29318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29829 / 29318 ti = "15/29829/29318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29829/29318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29829 ÷ 215
    29829 ÷ 32768     		x = 0.910308837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29318 ÷ 215
    29318 ÷ 32768     		y = 0.89471435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910308837890625 × 2 - 1) × π
    0.82061767578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.57804646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89471435546875 × 2 - 1) × π
    -0.7894287109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.48006343874323
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57804646} λ = 2.57804646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48006343874323))-π/2
    2×atan(0.0837379131957184)-π/2
    2×0.0835430080707998-π/2
    0.1670860161416-1.57079632675     		φ = -1.40371031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57804646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.711182°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40371031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.426676°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29829 KachelY 29318 2.57804646 -1.40371031 147.711182 -80.426676
    Oben rechts KachelX + 1 29830 KachelY 29318 2.57823821 -1.40371031 147.722168 -80.426676
    Unten links KachelX 29829 KachelY + 1 29319 2.57804646 -1.40374220 147.711182 -80.428504
    Unten rechts KachelX + 1 29830 KachelY + 1 29319 2.57823821 -1.40374220 147.722168 -80.428504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40371031--1.40374220) × R
    3.18900000000344e-05 × 6371000     		dl = 203.171190000219m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40371031--1.40374220) × R
    3.18900000000344e-05 × 6371000     		dr = 203.171190000219m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57804646-2.57823821) × cos(-1.40371031) × R
    0.000191749999999935 × 0.166309657385111 × 6371000     		do = 203.170405115635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57804646-2.57823821) × cos(-1.40374220) × R
    0.000191749999999935 × 0.166278211414202 × 6371000     		du = 203.131989483318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40371031)-sin(-1.40374220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166309657385111-0.166278211414202)×R²
    abs(2.57823821-2.57804646)×3.14459709087889e-05×R²
    0.000191749999999935×3.14459709087889e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.14459709087889e-05×40589641000000     		ar = 41274.4705082476m²