Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29828 / 29299
↖ ↑ ↗
← S 80.391898°
E147.700195°		 ← 203.90 m → S 80.391898°
E147.711182°		 →
↑
203.87 m
↓
↑
203.87 m
↓
S 80.393732°
E147.700195°		 ← 203.86 m →
41 566 m²		 S 80.393732°
E147.711182°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910293579101562 y=0.894149780273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910293579101562 × 215)
    floor (0.910293579101562 × 32768)
    floor (29828.5)     		tx = 29828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894149780273438 × 215)
    floor (0.894149780273438 × 32768)
    floor (29299.5)     		ty = 29299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29828 / 29299 ti = "15/29828/29299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29828/29299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29828 ÷ 215
    29828 ÷ 32768     		x = 0.9102783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29299 ÷ 215
    29299 ÷ 32768     		y = 0.894134521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9102783203125 × 2 - 1) × π
    0.820556640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.57785471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.894134521484375 × 2 - 1) × π
    -0.78826904296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.4764202343721
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57785471} λ = 2.57785471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.4764202343721))-π/2
    2×atan(0.0840435439266579)-π/2
    2×0.0838465029076874-π/2
    0.167693005815375-1.57079632675     		φ = -1.40310332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57785471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.700195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40310332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.391898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29828 KachelY 29299 2.57785471 -1.40310332 147.700195 -80.391898
    Oben rechts KachelX + 1 29829 KachelY 29299 2.57804646 -1.40310332 147.711182 -80.391898
    Unten links KachelX 29828 KachelY + 1 29300 2.57785471 -1.40313532 147.700195 -80.393732
    Unten rechts KachelX + 1 29829 KachelY + 1 29300 2.57804646 -1.40313532 147.711182 -80.393732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40310332--1.40313532) × R
    3.2000000000032e-05 × 6371000     		dl = 203.872000000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40310332--1.40313532) × R
    3.2000000000032e-05 × 6371000     		dr = 203.872000000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57785471-2.57804646) × cos(-1.40310332) × R
    0.000191749999999935 × 0.166908163511127 × 6371000     		do = 203.901563690541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57785471-2.57804646) × cos(-1.40313532) × R
    0.000191749999999935 × 0.166876612307392 × 6371000     		du = 203.863019501674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40310332)-sin(-1.40313532))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166908163511127-0.166876612307392)×R²
    abs(2.57804646-2.57785471)×3.15512037346866e-05×R²
    0.000191749999999935×3.15512037346866e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.15512037346866e-05×40589641000000     		ar = 41565.8905557871m²