Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29827 / 21637
↖ ↑ ↗
← N 76.097497°
W 98.077698°		 ← 73.38 m → N 76.097497°
W 98.074951°		 →
↑
73.39 m
↓
↑
73.39 m
↓
N 76.096837°
W 98.077698°		 ← 73.39 m →
5 386 m²		 N 76.096837°
W 98.074951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227565765380859 y=0.165081024169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227565765380859 × 217)
    floor (0.227565765380859 × 131072)
    floor (29827.5)     		tx = 29827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165081024169922 × 217)
    floor (0.165081024169922 × 131072)
    floor (21637.5)     		ty = 21637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29827 / 21637 ti = "17/29827/21637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29827/21637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29827 ÷ 217
    29827 ÷ 131072     		x = 0.227561950683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21637 ÷ 217
    21637 ÷ 131072     		y = 0.165077209472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.227561950683594 × 2 - 1) × π
    -0.544876098632812 × 3.1415926535     		Λ = -1.71177875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.165077209472656 × 2 - 1) × π
    0.669845581054688 × 3.1415926535     		Φ = 2.10438195642085
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71177875} λ = -1.71177875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10438195642085))-π/2
    2×atan(8.20203222942024)-π/2
    2×1.44947409957214-π/2
    2.89894819914429-1.57079632675     		φ = 1.32815187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71177875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.077698°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32815187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.097497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29827 KachelY 21637 -1.71177875 1.32815187 -98.077698 76.097497
    Oben rechts KachelX + 1 29828 KachelY 21637 -1.71173081 1.32815187 -98.074951 76.097497
    Unten links KachelX 29827 KachelY + 1 21638 -1.71177875 1.32814035 -98.077698 76.096837
    Unten rechts KachelX + 1 29828 KachelY + 1 21638 -1.71173081 1.32814035 -98.074951 76.096837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32815187-1.32814035) × R
    1.15199999999316e-05 × 6371000     		dl = 73.3939199995641m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32815187-1.32814035) × R
    1.15199999999316e-05 × 6371000     		dr = 73.3939199995641m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71177875--1.71173081) × cos(1.32815187) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.240270453596251 × 6371000     		do = 73.3847810897226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71177875--1.71173081) × cos(1.32814035) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.240281636113254 × 6371000     		du = 73.3881965182531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32815187)-sin(1.32814035))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.240270453596251-0.240281636113254)×R²
    abs(-1.71173081--1.71177875)×1.11825170026059e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.11825170026059e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.11825170026059e-05×40589641000000     		ar = 5386.12208837307m²