Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29826 / 21638
↖ ↑ ↗
← N 76.096837°
W 98.080445°		 ← 73.39 m → N 76.096837°
W 98.077698°		 →
↑
73.33 m
↓
↑
73.33 m
↓
N 76.096177°
W 98.080445°		 ← 73.39 m →
5 382 m²		 N 76.096177°
W 98.077698°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227558135986328 y=0.165088653564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227558135986328 × 217)
    floor (0.227558135986328 × 131072)
    floor (29826.5)     		tx = 29826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165088653564453 × 217)
    floor (0.165088653564453 × 131072)
    floor (21638.5)     		ty = 21638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29826 / 21638 ti = "17/29826/21638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29826/21638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29826 ÷ 217
    29826 ÷ 131072     		x = 0.227554321289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21638 ÷ 217
    21638 ÷ 131072     		y = 0.165084838867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.227554321289062 × 2 - 1) × π
    -0.544891357421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.71182669
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.165084838867188 × 2 - 1) × π
    0.669830322265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.10433401952123
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71182669} λ = -1.71182669}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10433401952123))-π/2
    2×atan(8.20163905884834)-π/2
    2×1.4494683405279-π/2
    2.8989366810558-1.57079632675     		φ = 1.32814035
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71182669} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.080445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32814035 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.096837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29826 KachelY 21638 -1.71182669 1.32814035 -98.080445 76.096837
    Oben rechts KachelX + 1 29827 KachelY 21638 -1.71177875 1.32814035 -98.077698 76.096837
    Unten links KachelX 29826 KachelY + 1 21639 -1.71182669 1.32812884 -98.080445 76.096177
    Unten rechts KachelX + 1 29827 KachelY + 1 21639 -1.71177875 1.32812884 -98.077698 76.096177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32814035-1.32812884) × R
    1.15099999999924e-05 × 6371000     		dl = 73.3302099999513m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32814035-1.32812884) × R
    1.15099999999924e-05 × 6371000     		dr = 73.3302099999513m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71182669--1.71177875) × cos(1.32814035) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.240281636113254 × 6371000     		do = 73.388196518593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71182669--1.71177875) × cos(1.32812884) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.240292808891364 × 6371000     		du = 73.3916089726152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32814035)-sin(1.32812884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.240281636113254-0.240292808891364)×R²
    abs(-1.71177875--1.71182669)×1.11727781102744e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.11727781102744e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.11727781102744e-05×40589641000000     		ar = 5381.69698031192m²