Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29825 / 29334
↖ ↑ ↗
← S 80.455866°
E147.667236°		 ← 202.56 m → S 80.455866°
E147.678223°		 →
↑
202.53 m
↓
↑
202.53 m
↓
S 80.457688°
E147.667236°		 ← 202.52 m →
41 021 m²		 S 80.457688°
E147.678223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910202026367188 y=0.895217895507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910202026367188 × 215)
    floor (0.910202026367188 × 32768)
    floor (29825.5)     		tx = 29825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.895217895507812 × 215)
    floor (0.895217895507812 × 32768)
    floor (29334.5)     		ty = 29334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29825 / 29334 ti = "15/29825/29334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29825/29334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29825 ÷ 215
    29825 ÷ 32768     		x = 0.910186767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29334 ÷ 215
    29334 ÷ 32768     		y = 0.89520263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910186767578125 × 2 - 1) × π
    0.82037353515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.57727947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89520263671875 × 2 - 1) × π
    -0.7904052734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.48313140031891
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57727947} λ = 2.57727947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48313140031891))-π/2
    2×atan(0.0834814021797748)-π/2
    2×0.0832882777674683-π/2
    0.166576555534937-1.57079632675     		φ = -1.40421977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57727947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.667236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40421977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.455866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29825 KachelY 29334 2.57727947 -1.40421977 147.667236 -80.455866
    Oben rechts KachelX + 1 29826 KachelY 29334 2.57747122 -1.40421977 147.678223 -80.455866
    Unten links KachelX 29825 KachelY + 1 29335 2.57727947 -1.40425156 147.667236 -80.457688
    Unten rechts KachelX + 1 29826 KachelY + 1 29335 2.57747122 -1.40425156 147.678223 -80.457688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40421977--1.40425156) × R
    3.1789999999976e-05 × 6371000     		dl = 202.534089999847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40421977--1.40425156) × R
    3.1789999999976e-05 × 6371000     		dr = 202.534089999847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57727947-2.57747122) × cos(-1.40421977) × R
    0.000191749999999935 × 0.165807270779871 × 6371000     		do = 202.55666992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57727947-2.57747122) × cos(-1.40425156) × R
    0.000191749999999935 × 0.165775920727665 × 6371000     		du = 202.518371465735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40421977)-sin(-1.40425156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165807270779871-0.165775920727665)×R²
    abs(2.57747122-2.57727947)×3.13500522064192e-05×R²
    0.000191749999999935×3.13500522064192e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.13500522064192e-05×40589641000000     		ar = 41020.7524478591m²