Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29825 / 17849
↖ ↑ ↗
← N 63.092273°
W 16.166382°		 ← 276.42 m → N 63.092273°
W 16.160889°		 →
↑
276.44 m
↓
↑
276.44 m
↓
N 63.089787°
W 16.166382°		 ← 276.44 m →
76 415 m²		 N 63.089787°
W 16.160889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455101013183594 y=0.272361755371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455101013183594 × 216)
    floor (0.455101013183594 × 65536)
    floor (29825.5)     		tx = 29825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272361755371094 × 216)
    floor (0.272361755371094 × 65536)
    floor (17849.5)     		ty = 17849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29825 / 17849 ti = "16/29825/17849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29825/17849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29825 ÷ 216
    29825 ÷ 65536     		x = 0.455093383789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17849 ÷ 216
    17849 ÷ 65536     		y = 0.272354125976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455093383789062 × 2 - 1) × π
    -0.089813232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28215659
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272354125976562 × 2 - 1) × π
    0.455291748046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.43034121086324
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28215659} λ = -0.28215659}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43034121086324))-π/2
    2×atan(4.18012525276161)-π/2
    2×1.33598210819119-π/2
    2.67196421638239-1.57079632675     		φ = 1.10116789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28215659} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.166382°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10116789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.092273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29825 KachelY 17849 -0.28215659 1.10116789 -16.166382 63.092273
    Oben rechts KachelX + 1 29826 KachelY 17849 -0.28206072 1.10116789 -16.160889 63.092273
    Unten links KachelX 29825 KachelY + 1 17850 -0.28215659 1.10112450 -16.166382 63.089787
    Unten rechts KachelX + 1 29826 KachelY + 1 17850 -0.28206072 1.10112450 -16.160889 63.089787
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10116789-1.10112450) × R
    4.33899999998655e-05 × 6371000     		dl = 276.437689999143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10116789-1.10112450) × R
    4.33899999998655e-05 × 6371000     		dr = 276.437689999143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28215659--0.28206072) × cos(1.10116789) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.452554980153398 × 6371000     		do = 276.415047130282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28215659--0.28206072) × cos(1.10112450) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.45259367217422 × 6371000     		du = 276.438679743397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10116789)-sin(1.10112450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452554980153398-0.45259367217422)×R²
    abs(-0.28206072--0.28215659)×3.8692020821518e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.8692020821518e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.8692020821518e-05×40589641000000     		ar = 76414.8035938667m²