Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29824 / 21632
↖ ↑ ↗
← N 76.100796°
W 98.085938°		 ← 73.37 m → N 76.100796°
W 98.083191°		 →
↑
73.33 m
↓
↑
73.33 m
↓
N 76.100136°
W 98.085938°		 ← 73.37 m →
5 380 m²		 N 76.100136°
W 98.083191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227542877197266 y=0.165042877197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227542877197266 × 217)
    floor (0.227542877197266 × 131072)
    floor (29824.5)     		tx = 29824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165042877197266 × 217)
    floor (0.165042877197266 × 131072)
    floor (21632.5)     		ty = 21632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29824 / 21632 ti = "17/29824/21632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29824/21632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29824 ÷ 217
    29824 ÷ 131072     		x = 0.2275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21632 ÷ 217
    21632 ÷ 131072     		y = 0.1650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2275390625 × 2 - 1) × π
    -0.544921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.71192256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1650390625 × 2 - 1) × π
    0.669921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.10462164091895
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71192256} λ = -1.71192256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10462164091895))-π/2
    2×atan(8.20399836501525)-π/2
    2×1.44950289077394-π/2
    2.89900578154787-1.57079632675     		φ = 1.32820945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71192256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.085938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32820945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.100796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29824 KachelY 21632 -1.71192256 1.32820945 -98.085938 76.100796
    Oben rechts KachelX + 1 29825 KachelY 21632 -1.71187462 1.32820945 -98.083191 76.100796
    Unten links KachelX 29824 KachelY + 1 21633 -1.71192256 1.32819794 -98.085938 76.100136
    Unten rechts KachelX + 1 29825 KachelY + 1 21633 -1.71187462 1.32819794 -98.083191 76.100136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32820945-1.32819794) × R
    1.15099999999924e-05 × 6371000     		dl = 73.3302099999513m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32820945-1.32819794) × R
    1.15099999999924e-05 × 6371000     		dr = 73.3302099999513m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71192256--1.71187462) × cos(1.32820945) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.240214559947368 × 6371000     		do = 73.367709730991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71192256--1.71187462) × cos(1.32819794) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.240225732916562 × 6371000     		du = 73.371122243375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32820945)-sin(1.32819794))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.240214559947368-0.240225732916562)×R²
    abs(-1.71187462--1.71192256)×1.11729691938955e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.11729691938955e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.11729691938955e-05×40589641000000     		ar = 5380.19468207509m²