Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29824 / 17788
↖ ↑ ↗
← N 63.243521°
W 16.171875°		 ← 274.98 m → N 63.243521°
W 16.166382°		 →
↑
275.04 m
↓
↑
275.04 m
↓
N 63.241048°
W 16.171875°		 ← 275 m →
75 632 m²		 N 63.241048°
W 16.166382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455085754394531 y=0.271430969238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455085754394531 × 216)
    floor (0.455085754394531 × 65536)
    floor (29824.5)     		tx = 29824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271430969238281 × 216)
    floor (0.271430969238281 × 65536)
    floor (17788.5)     		ty = 17788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29824 / 17788 ti = "16/29824/17788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29824/17788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29824 ÷ 216
    29824 ÷ 65536     		x = 0.455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17788 ÷ 216
    17788 ÷ 65536     		y = 0.27142333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455078125 × 2 - 1) × π
    -0.08984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28225246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27142333984375 × 2 - 1) × π
    0.4571533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.43618951261688
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28225246} λ = -0.28225246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43618951261688))-π/2
    2×atan(4.20464351181413)-π/2
    2×1.33730200098824-π/2
    2.67460400197649-1.57079632675     		φ = 1.10380768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28225246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.171875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10380768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.243521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29824 KachelY 17788 -0.28225246 1.10380768 -16.171875 63.243521
    Oben rechts KachelX + 1 29825 KachelY 17788 -0.28215659 1.10380768 -16.166382 63.243521
    Unten links KachelX 29824 KachelY + 1 17789 -0.28225246 1.10376451 -16.171875 63.241048
    Unten rechts KachelX + 1 29825 KachelY + 1 17789 -0.28215659 1.10376451 -16.166382 63.241048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10380768-1.10376451) × R
    4.31700000000923e-05 × 6371000     		dl = 275.036070000588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10380768-1.10376451) × R
    4.31700000000923e-05 × 6371000     		dr = 275.036070000588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28225246--0.28215659) × cos(1.10380768) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.450199408973568 × 6371000     		do = 274.976293062278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28225246--0.28215659) × cos(1.10376451) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.450237956257718 × 6371000     		du = 274.999837272003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10380768)-sin(1.10376451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450199408973568-0.450237956257718)×R²
    abs(-0.28215659--0.28225246)×3.85472841503698e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.85472841503698e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.85472841503698e-05×40589641000000     		ar = 75631.6367522895m²