Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29823 / 17848
↖ ↑ ↗
← N 63.094759°
W 16.177368°		 ← 276.42 m → N 63.094759°
W 16.171875°		 →
↑
276.44 m
↓
↑
276.44 m
↓
N 63.092273°
W 16.177368°		 ← 276.44 m →
76 416 m²		 N 63.092273°
W 16.171875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455070495605469 y=0.272346496582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455070495605469 × 216)
    floor (0.455070495605469 × 65536)
    floor (29823.5)     		tx = 29823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272346496582031 × 216)
    floor (0.272346496582031 × 65536)
    floor (17848.5)     		ty = 17848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29823 / 17848 ti = "16/29823/17848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29823/17848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29823 ÷ 216
    29823 ÷ 65536     		x = 0.455062866210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17848 ÷ 216
    17848 ÷ 65536     		y = 0.2723388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455062866210938 × 2 - 1) × π
    -0.089874267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28234834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2723388671875 × 2 - 1) × π
    0.455322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.43043708466248
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28234834} λ = -0.28234834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43043708466248))-π/2
    2×atan(4.18052603646292)-π/2
    2×1.33600380134653-π/2
    2.67200760269306-1.57079632675     		φ = 1.10121128
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28234834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.177368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10121128 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.094759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29823 KachelY 17848 -0.28234834 1.10121128 -16.177368 63.094759
    Oben rechts KachelX + 1 29824 KachelY 17848 -0.28225246 1.10121128 -16.171875 63.094759
    Unten links KachelX 29823 KachelY + 1 17849 -0.28234834 1.10116789 -16.177368 63.092273
    Unten rechts KachelX + 1 29824 KachelY + 1 17849 -0.28225246 1.10116789 -16.171875 63.092273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10121128-1.10116789) × R
    4.33900000000875e-05 × 6371000     		dl = 276.437690000558m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10121128-1.10116789) × R
    4.33900000000875e-05 × 6371000     		dr = 276.437690000558m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28234834--0.28225246) × cos(1.10121128) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.452516287280555 × 6371000     		do = 276.420243809411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28234834--0.28225246) × cos(1.10116789) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.452554980153398 × 6371000     		du = 276.443879408053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10121128)-sin(1.10116789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452516287280555-0.452554980153398)×R²
    abs(-0.28225246--0.28234834)×3.86928728434155e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.86928728434155e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.86928728434155e-05×40589641000000     		ar = 76416.2405653583m²