Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29822 / 29310
↖ ↑ ↗
← S 80.412048°
E147.634277°		 ← 203.48 m → S 80.412048°
E147.645264°		 →
↑
203.49 m
↓
↑
203.49 m
↓
S 80.413878°
E147.634277°		 ← 203.44 m →
41 402 m²		 S 80.413878°
E147.645264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910110473632812 y=0.894485473632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910110473632812 × 215)
    floor (0.910110473632812 × 32768)
    floor (29822.5)     		tx = 29822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894485473632812 × 215)
    floor (0.894485473632812 × 32768)
    floor (29310.5)     		ty = 29310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29822 / 29310 ti = "15/29822/29310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29822/29310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29822 ÷ 215
    29822 ÷ 32768     		x = 0.91009521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29310 ÷ 215
    29310 ÷ 32768     		y = 0.89447021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91009521484375 × 2 - 1) × π
    0.8201904296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.57670423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89447021484375 × 2 - 1) × π
    -0.7889404296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.47852945795538
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57670423} λ = 2.57670423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47852945795538))-π/2
    2×atan(0.0838664641178893)-π/2
    2×0.0836706625004005-π/2
    0.167341325000801-1.57079632675     		φ = -1.40345500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57670423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.634277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40345500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.412048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29822 KachelY 29310 2.57670423 -1.40345500 147.634277 -80.412048
    Oben rechts KachelX + 1 29823 KachelY 29310 2.57689598 -1.40345500 147.645264 -80.412048
    Unten links KachelX 29822 KachelY + 1 29311 2.57670423 -1.40348694 147.634277 -80.413878
    Unten rechts KachelX + 1 29823 KachelY + 1 29311 2.57689598 -1.40348694 147.645264 -80.413878
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40345500--1.40348694) × R
    3.19400000001746e-05 × 6371000     		dl = 203.489740001112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40345500--1.40348694) × R
    3.19400000001746e-05 × 6371000     		dr = 203.489740001112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57670423-2.57689598) × cos(-1.40345500) × R
    0.000191750000000379 × 0.166561406406841 × 6371000     		do = 203.477951602201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57670423-2.57689598) × cos(-1.40348694) × R
    0.000191750000000379 × 0.166529912489075 × 6371000     		du = 203.439477396122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40345500)-sin(-1.40348694))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166561406406841-0.166529912489075)×R²
    abs(2.57689598-2.57670423)×3.14939177660789e-05×R²
    0.000191750000000379×3.14939177660789e-05×6371000²
    0.000191750000000379×3.14939177660789e-05×40589641000000     		ar = 41401.7609178494m²