Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29821 / 28290
↖ ↑ ↗
← N 23.875792°
W 16.188355°		 ← 558.58 m → N 23.875792°
W 16.182861°		 →
↑
558.55 m
↓
↑
558.55 m
↓
N 23.870769°
W 16.188355°		 ← 558.60 m →
311 997 m²		 N 23.870769°
W 16.182861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455039978027344 y=0.431678771972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455039978027344 × 216)
    floor (0.455039978027344 × 65536)
    floor (29821.5)     		tx = 29821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431678771972656 × 216)
    floor (0.431678771972656 × 65536)
    floor (28290.5)     		ty = 28290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29821 / 28290 ti = "16/29821/28290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29821/28290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29821 ÷ 216
    29821 ÷ 65536     		x = 0.455032348632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28290 ÷ 216
    28290 ÷ 65536     		y = 0.431671142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455032348632812 × 2 - 1) × π
    -0.089935302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28254009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431671142578125 × 2 - 1) × π
    0.13665771484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.429322872997223
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28254009} λ = -0.28254009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.429322872997223))-π/2
    2×atan(1.53621695730637)-π/2
    2×0.993753753620342-π/2
    1.98750750724068-1.57079632675     		φ = 0.41671118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28254009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.188355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41671118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.875792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29821 KachelY 28290 -0.28254009 0.41671118 -16.188355 23.875792
    Oben rechts KachelX + 1 29822 KachelY 28290 -0.28244421 0.41671118 -16.182861 23.875792
    Unten links KachelX 29821 KachelY + 1 28291 -0.28254009 0.41662351 -16.188355 23.870769
    Unten rechts KachelX + 1 29822 KachelY + 1 28291 -0.28244421 0.41662351 -16.182861 23.870769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41671118-0.41662351) × R
    8.76700000000397e-05 × 6371000     		dl = 558.545570000253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41671118-0.41662351) × R
    8.76700000000397e-05 × 6371000     		dr = 558.545570000253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28254009--0.28244421) × cos(0.41671118) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.914425050493608 × 6371000     		do = 558.577895443376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28254009--0.28244421) × cos(0.41662351) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.914460531873766 × 6371000     		du = 558.599569296957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41671118)-sin(0.41662351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.914425050493608-0.914460531873766)×R²
    abs(-0.28244421--0.28254009)×3.54813801575204e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.54813801575204e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.54813801575204e-05×40589641000000     		ar = 311997.262117204m²