Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29820 / 29306
↖ ↑ ↗
← S 80.404726°
E147.612305°		 ← 203.63 m → S 80.404726°
E147.623291°		 →
↑
203.62 m
↓
↑
203.62 m
↓
S 80.406557°
E147.612305°		 ← 203.59 m →
41 459 m²		 S 80.406557°
E147.623291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910049438476562 y=0.894363403320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910049438476562 × 215)
    floor (0.910049438476562 × 32768)
    floor (29820.5)     		tx = 29820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894363403320312 × 215)
    floor (0.894363403320312 × 32768)
    floor (29306.5)     		ty = 29306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29820 / 29306 ti = "15/29820/29306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29820/29306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29820 ÷ 215
    29820 ÷ 32768     		x = 0.9100341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29306 ÷ 215
    29306 ÷ 32768     		y = 0.89434814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9100341796875 × 2 - 1) × π
    0.820068359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.57632073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89434814453125 × 2 - 1) × π
    -0.7886962890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.47776246756146
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57632073} λ = 2.57632073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47776246756146))-π/2
    2×atan(0.0839308135647891)-π/2
    2×0.0837345621587595-π/2
    0.167469124317519-1.57079632675     		φ = -1.40332720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57632073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.612305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40332720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.404726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29820 KachelY 29306 2.57632073 -1.40332720 147.612305 -80.404726
    Oben rechts KachelX + 1 29821 KachelY 29306 2.57651248 -1.40332720 147.623291 -80.404726
    Unten links KachelX 29820 KachelY + 1 29307 2.57632073 -1.40335916 147.612305 -80.406557
    Unten rechts KachelX + 1 29821 KachelY + 1 29307 2.57651248 -1.40335916 147.623291 -80.406557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40332720--1.40335916) × R
    3.1959999999831e-05 × 6371000     		dl = 203.617159998923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40332720--1.40335916) × R
    3.1959999999831e-05 × 6371000     		dr = 203.617159998923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57632073-2.57651248) × cos(-1.40332720) × R
    0.000191749999999935 × 0.166687419818776 × 6371000     		do = 203.631894531776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57632073-2.57651248) × cos(-1.40335916) × R
    0.000191749999999935 × 0.166655906860793 × 6371000     		du = 203.593397065421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40332720)-sin(-1.40335916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166687419818776-0.166655906860793)×R²
    abs(2.57651248-2.57632073)×3.15129579827877e-05×R²
    0.000191749999999935×3.15129579827877e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.15129579827877e-05×40589641000000     		ar = 41459.028681066m²