Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29819 / 29303
↖ ↑ ↗
← S 80.399231°
E147.601319°		 ← 203.74 m → S 80.399231°
E147.612305°		 →
↑
203.74 m
↓
↑
203.74 m
↓
S 80.401063°
E147.601319°		 ← 203.70 m →
41 506 m²		 S 80.401063°
E147.612305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910018920898438 y=0.894271850585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910018920898438 × 215)
    floor (0.910018920898438 × 32768)
    floor (29819.5)     		tx = 29819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894271850585938 × 215)
    floor (0.894271850585938 × 32768)
    floor (29303.5)     		ty = 29303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29819 / 29303 ti = "15/29819/29303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29819/29303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29819 ÷ 215
    29819 ÷ 32768     		x = 0.910003662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29303 ÷ 215
    29303 ÷ 32768     		y = 0.894256591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910003662109375 × 2 - 1) × π
    0.82000732421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.57612899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.894256591796875 × 2 - 1) × π
    -0.78851318359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.47718722476602
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57612899} λ = 2.57612899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47718722476602))-π/2
    2×atan(0.0839791080498033)-π/2
    2×0.0837825186257032-π/2
    0.167565037251406-1.57079632675     		φ = -1.40323129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57612899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.601319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40323129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.399231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29819 KachelY 29303 2.57612899 -1.40323129 147.601319 -80.399231
    Oben rechts KachelX + 1 29820 KachelY 29303 2.57632073 -1.40323129 147.612305 -80.399231
    Unten links KachelX 29819 KachelY + 1 29304 2.57612899 -1.40326327 147.601319 -80.401063
    Unten rechts KachelX + 1 29820 KachelY + 1 29304 2.57632073 -1.40326327 147.612305 -80.401063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40323129--1.40326327) × R
    3.19800000001536e-05 × 6371000     		dl = 203.744580000978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40323129--1.40326327) × R
    3.19800000001536e-05 × 6371000     		dr = 203.744580000978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57612899-2.57632073) × cos(-1.40323129) × R
    0.000191739999999996 × 0.166781987250842 × 6371000     		do = 203.736796138216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57612899-2.57632073) × cos(-1.40326327) × R
    0.000191739999999996 × 0.166750455083917 × 6371000     		du = 203.698277214377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40323129)-sin(-1.40326327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166781987250842-0.166750455083917)×R²
    abs(2.57632073-2.57612899)×3.15321669248358e-05×R²
    0.000191739999999996×3.15321669248358e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.15321669248358e-05×40589641000000     		ar = 41506.3439523644m²