Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29818 / 42650
↖ ↑ ↗
← S 47.613570°
W 16.204834°		 ← 411.79 m → S 47.613570°
W 16.199341°		 →
↑
411.76 m
↓
↑
411.76 m
↓
S 47.617273°
W 16.204834°		 ← 411.76 m →
169 552 m²		 S 47.617273°
W 16.199341°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454994201660156 y=0.650794982910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454994201660156 × 216)
    floor (0.454994201660156 × 65536)
    floor (29818.5)     		tx = 29818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650794982910156 × 216)
    floor (0.650794982910156 × 65536)
    floor (42650.5)     		ty = 42650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29818 / 42650 ti = "16/29818/42650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29818/42650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29818 ÷ 216
    29818 ÷ 65536     		x = 0.454986572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42650 ÷ 216
    42650 ÷ 65536     		y = 0.650787353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454986572265625 × 2 - 1) × π
    -0.09002685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28282771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650787353515625 × 2 - 1) × π
    -0.30157470703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.94742488409079
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28282771} λ = -0.28282771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.94742488409079))-π/2
    2×atan(0.387738209800909)-π/2
    2×0.36989138298916-π/2
    0.739782765978319-1.57079632675     		φ = -0.83101356
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28282771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.204834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83101356 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.613570°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29818 KachelY 42650 -0.28282771 -0.83101356 -16.204834 -47.613570
    Oben rechts KachelX + 1 29819 KachelY 42650 -0.28273183 -0.83101356 -16.199341 -47.613570
    Unten links KachelX 29818 KachelY + 1 42651 -0.28282771 -0.83107819 -16.204834 -47.617273
    Unten rechts KachelX + 1 29819 KachelY + 1 42651 -0.28273183 -0.83107819 -16.199341 -47.617273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83101356--0.83107819) × R
    6.463000000001e-05 × 6371000     		dl = 411.757730000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83101356--0.83107819) × R
    6.463000000001e-05 × 6371000     		dr = 411.757730000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28282771--0.28273183) × cos(-0.83101356) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.674127475827613 × 6371000     		do = 411.79176631793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28282771--0.28273183) × cos(-0.83107819) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.674079737731039 × 6371000     		du = 411.762605430985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83101356)-sin(-0.83107819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.674127475827613-0.674079737731039)×R²
    abs(-0.28273183--0.28282771)×4.77380965742125e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.77380965742125e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.77380965742125e-05×40589641000000     		ar = 169552.439380493m²