Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29817 / 42635
↖ ↑ ↗
← S 47.557994°
W 16.210327°		 ← 412.19 m → S 47.557994°
W 16.204834°		 →
↑
412.20 m
↓
↑
412.20 m
↓
S 47.561701°
W 16.210327°		 ← 412.16 m →
169 899 m²		 S 47.561701°
W 16.204834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454978942871094 y=0.650566101074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454978942871094 × 216)
    floor (0.454978942871094 × 65536)
    floor (29817.5)     		tx = 29817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650566101074219 × 216)
    floor (0.650566101074219 × 65536)
    floor (42635.5)     		ty = 42635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29817 / 42635 ti = "16/29817/42635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29817/42635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29817 ÷ 216
    29817 ÷ 65536     		x = 0.454971313476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42635 ÷ 216
    42635 ÷ 65536     		y = 0.650558471679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454971313476562 × 2 - 1) × π
    -0.090057373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28292358
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650558471679688 × 2 - 1) × π
    -0.301116943359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.945986777102188
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28292358} λ = -0.28292358}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.945986777102188))-π/2
    2×atan(0.388296219973165)-π/2
    2×0.370376374164845-π/2
    0.74075274832969-1.57079632675     		φ = -0.83004358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28292358} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.210327°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83004358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.557994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29817 KachelY 42635 -0.28292358 -0.83004358 -16.210327 -47.557994
    Oben rechts KachelX + 1 29818 KachelY 42635 -0.28282771 -0.83004358 -16.204834 -47.557994
    Unten links KachelX 29817 KachelY + 1 42636 -0.28292358 -0.83010828 -16.210327 -47.561701
    Unten rechts KachelX + 1 29818 KachelY + 1 42636 -0.28282771 -0.83010828 -16.204834 -47.561701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83004358--0.83010828) × R
    6.47000000000286e-05 × 6371000     		dl = 412.203700000182m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83004358--0.83010828) × R
    6.47000000000286e-05 × 6371000     		dr = 412.203700000182m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28292358--0.28282771) × cos(-0.83004358) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.674843600381257 × 6371000     		do = 412.18621777563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28292358--0.28282771) × cos(-0.83010828) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.674795852906249 × 6371000     		du = 412.157054201847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83004358)-sin(-0.83010828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.674843600381257-0.674795852906249)×R²
    abs(-0.28282771--0.28292358)×4.77474750074647e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77474750074647e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77474750074647e-05×40589641000000     		ar = 169898.673448589m²