Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29817 / 29305
↖ ↑ ↗
← S 80.402895°
E147.579346°		 ← 203.67 m → S 80.402895°
E147.590332°		 →
↑
203.62 m
↓
↑
203.62 m
↓
S 80.404726°
E147.579346°		 ← 203.63 m →
41 467 m²		 S 80.404726°
E147.590332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909957885742188 y=0.894332885742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909957885742188 × 215)
    floor (0.909957885742188 × 32768)
    floor (29817.5)     		tx = 29817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894332885742188 × 215)
    floor (0.894332885742188 × 32768)
    floor (29305.5)     		ty = 29305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29817 / 29305 ti = "15/29817/29305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29817/29305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29817 ÷ 215
    29817 ÷ 32768     		x = 0.909942626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29305 ÷ 215
    29305 ÷ 32768     		y = 0.894317626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909942626953125 × 2 - 1) × π
    0.81988525390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.57574549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.894317626953125 × 2 - 1) × π
    -0.78863525390625 × 3.1415926535     		Φ = -2.47757071996298
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57574549} λ = 2.57574549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47757071996298))-π/2
    2×atan(0.0839469086397753)-π/2
    2×0.0837505446255611-π/2
    0.167501089251122-1.57079632675     		φ = -1.40329524
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57574549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.579346°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40329524 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.402895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29817 KachelY 29305 2.57574549 -1.40329524 147.579346 -80.402895
    Oben rechts KachelX + 1 29818 KachelY 29305 2.57593724 -1.40329524 147.590332 -80.402895
    Unten links KachelX 29817 KachelY + 1 29306 2.57574549 -1.40332720 147.579346 -80.404726
    Unten rechts KachelX + 1 29818 KachelY + 1 29306 2.57593724 -1.40332720 147.590332 -80.404726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40329524--1.40332720) × R
    3.19600000000531e-05 × 6371000     		dl = 203.617160000338m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40329524--1.40332720) × R
    3.19600000000531e-05 × 6371000     		dr = 203.617160000338m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57574549-2.57593724) × cos(-1.40329524) × R
    0.000191749999999935 × 0.166718932606498 × 6371000     		do = 203.670391790133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57574549-2.57593724) × cos(-1.40332720) × R
    0.000191749999999935 × 0.166687419818776 × 6371000     		du = 203.631894531776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40329524)-sin(-1.40332720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166718932606498-0.166687419818776)×R²
    abs(2.57593724-2.57574549)×3.15127877215104e-05×R²
    0.000191749999999935×3.15127877215104e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.15127877215104e-05×40589641000000     		ar = 41466.8674051m²