Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29817 / 17899
↖ ↑ ↗
← N 62.967709°
W 16.210327°		 ← 277.60 m → N 62.967709°
W 16.204834°		 →
↑
277.65 m
↓
↑
277.65 m
↓
N 62.965212°
W 16.210327°		 ← 277.62 m →
77 078 m²		 N 62.965212°
W 16.204834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17899 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454978942871094 y=0.273124694824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454978942871094 × 216)
    floor (0.454978942871094 × 65536)
    floor (29817.5)     		tx = 29817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273124694824219 × 216)
    floor (0.273124694824219 × 65536)
    floor (17899.5)     		ty = 17899
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29817 / 17899 ti = "16/29817/17899"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29817/17899.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29817 ÷ 216
    29817 ÷ 65536     		x = 0.454971313476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17899 ÷ 216
    17899 ÷ 65536     		y = 0.273117065429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454971313476562 × 2 - 1) × π
    -0.090057373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28292358
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273117065429688 × 2 - 1) × π
    0.453765869140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.42554752090123
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28292358} λ = -0.28292358}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42554752090123))-π/2
    2×atan(4.16013498016253)-π/2
    2×1.33489508320898-π/2
    2.66979016641795-1.57079632675     		φ = 1.09899384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28292358} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.210327°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09899384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.967709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29817 KachelY 17899 -0.28292358 1.09899384 -16.210327 62.967709
    Oben rechts KachelX + 1 29818 KachelY 17899 -0.28282771 1.09899384 -16.204834 62.967709
    Unten links KachelX 29817 KachelY + 1 17900 -0.28292358 1.09895026 -16.210327 62.965212
    Unten rechts KachelX + 1 29818 KachelY + 1 17900 -0.28282771 1.09895026 -16.204834 62.965212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09899384-1.09895026) × R
    4.3580000000043e-05 × 6371000     		dl = 277.648180000274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09899384-1.09895026) × R
    4.3580000000043e-05 × 6371000     		dr = 277.648180000274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28292358--0.28282771) × cos(1.09899384) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.454492588870881 × 6371000     		do = 277.598514837966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28292358--0.28282771) × cos(1.09895026) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.454531407346886 × 6371000     		du = 277.62222468836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09899384)-sin(1.09895026))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454492588870881-0.454531407346886)×R²
    abs(-0.28282771--0.28292358)×3.88184760051757e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.88184760051757e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.88184760051757e-05×40589641000000     		ar = 77078.0139258933m²