Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29816 / 42637
↖ ↑ ↗
← S 47.565407°
W 16.215821°		 ← 412.17 m → S 47.565407°
W 16.210327°		 →
↑
412.14 m
↓
↑
412.14 m
↓
S 47.569114°
W 16.215821°		 ← 412.14 m →
169 866 m²		 S 47.569114°
W 16.210327°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454963684082031 y=0.650596618652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454963684082031 × 216)
    floor (0.454963684082031 × 65536)
    floor (29816.5)     		tx = 29816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650596618652344 × 216)
    floor (0.650596618652344 × 65536)
    floor (42637.5)     		ty = 42637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29816 / 42637 ti = "16/29816/42637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29816/42637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29816 ÷ 216
    29816 ÷ 65536     		x = 0.4549560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42637 ÷ 216
    42637 ÷ 65536     		y = 0.650588989257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4549560546875 × 2 - 1) × π
    -0.090087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28301946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650588989257812 × 2 - 1) × π
    -0.301177978515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.946178524700668
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28301946} λ = -0.28301946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.946178524700668))-π/2
    2×atan(0.388221772243301)-π/2
    2×0.370311678922423-π/2
    0.740623357844847-1.57079632675     		φ = -0.83017297
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28301946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.215821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83017297 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.565407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29816 KachelY 42637 -0.28301946 -0.83017297 -16.215821 -47.565407
    Oben rechts KachelX + 1 29817 KachelY 42637 -0.28292358 -0.83017297 -16.210327 -47.565407
    Unten links KachelX 29816 KachelY + 1 42638 -0.28301946 -0.83023766 -16.215821 -47.569114
    Unten rechts KachelX + 1 29817 KachelY + 1 42638 -0.28292358 -0.83023766 -16.210327 -47.569114
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83017297--0.83023766) × R
    6.46899999999784e-05 × 6371000     		dl = 412.139989999862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83017297--0.83023766) × R
    6.46899999999784e-05 × 6371000     		dr = 412.139989999862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28301946--0.28292358) × cos(-0.83017297) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.674748109986967 × 6371000     		do = 412.17088161271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28301946--0.28292358) × cos(-0.83023766) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.674700364244001 × 6371000     		du = 412.141716054955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83017297)-sin(-0.83023766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.674748109986967-0.674700364244001)×R²
    abs(-0.28292358--0.28301946)×4.77457429658434e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.77457429658434e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.77457429658434e-05×40589641000000     		ar = 169866.092939231m²