Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29815 / 42519
↖ ↑ ↗
← S 47.126214°
W 16.221314°		 ← 415.57 m → S 47.126214°
W 16.215821°		 →
↑
415.58 m
↓
↑
415.58 m
↓
S 47.129951°
W 16.221314°		 ← 415.54 m →
172 697 m²		 S 47.129951°
W 16.215821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454948425292969 y=0.648796081542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454948425292969 × 216)
    floor (0.454948425292969 × 65536)
    floor (29815.5)     		tx = 29815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648796081542969 × 216)
    floor (0.648796081542969 × 65536)
    floor (42519.5)     		ty = 42519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29815 / 42519 ti = "16/29815/42519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29815/42519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29815 ÷ 216
    29815 ÷ 65536     		x = 0.454940795898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42519 ÷ 216
    42519 ÷ 65536     		y = 0.648788452148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454940795898438 × 2 - 1) × π
    -0.090118408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28311533
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648788452148438 × 2 - 1) × π
    -0.297576904296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.934865416390335
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28311533} λ = -0.28311533}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.934865416390335))-π/2
    2×atan(0.392638704709969)-π/2
    2×0.37414436933614-π/2
    0.748288738672279-1.57079632675     		φ = -0.82250759
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28311533} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.221314°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82250759 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.126214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29815 KachelY 42519 -0.28311533 -0.82250759 -16.221314 -47.126214
    Oben rechts KachelX + 1 29816 KachelY 42519 -0.28301946 -0.82250759 -16.215821 -47.126214
    Unten links KachelX 29815 KachelY + 1 42520 -0.28311533 -0.82257282 -16.221314 -47.129951
    Unten rechts KachelX + 1 29816 KachelY + 1 42520 -0.28301946 -0.82257282 -16.215821 -47.129951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82250759--0.82257282) × R
    6.52300000000272e-05 × 6371000     		dl = 415.580330000173m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82250759--0.82257282) × R
    6.52300000000272e-05 × 6371000     		dr = 415.580330000173m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28311533--0.28301946) × cos(-0.82250759) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.680385650332921 × 6371000     		do = 415.571234106836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28311533--0.28301946) × cos(-0.82257282) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.680337844802052 × 6371000     		du = 415.542035073242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82250759)-sin(-0.82257282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.680385650332921-0.680337844802052)×R²
    abs(-0.28301946--0.28311533)×4.78055308691383e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78055308691383e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78055308691383e-05×40589641000000     		ar = 172697.163398066m²