Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 29814 / 11378
↖ ↑ ↗
← N 81.471965°
W 98.113403°		 ← 45.29 m → N 81.471965°
W 98.110657°		 →
↑
45.30 m
↓
↑
45.30 m
↓
N 81.471558°
W 98.113403°		 ← 45.29 m →
2 052 m²		 N 81.471558°
W 98.110657°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227466583251953 y=0.0868110656738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227466583251953 × 217)
    floor (0.227466583251953 × 131072)
    floor (29814.5)     		tx = 29814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0868110656738281 × 217)
    floor (0.0868110656738281 × 131072)
    floor (11378.5)     		ty = 11378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29814 / 11378 ti = "17/29814/11378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29814/11378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29814 ÷ 217
    29814 ÷ 131072     		x = 0.227462768554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11378 ÷ 217
    11378 ÷ 131072     		y = 0.0868072509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.227462768554688 × 2 - 1) × π
    -0.545074462890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.71240193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0868072509765625 × 2 - 1) × π
    0.826385498046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.596166609623
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71240193} λ = -1.71240193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.596166609623))-π/2
    2×atan(13.4122250689155)-π/2
    2×1.49637518161625-π/2
    2.99275036323251-1.57079632675     		φ = 1.42195404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71240193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.113403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42195404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.471965°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29814 KachelY 11378 -1.71240193 1.42195404 -98.113403 81.471965
    Oben rechts KachelX + 1 29815 KachelY 11378 -1.71235399 1.42195404 -98.110657 81.471965
    Unten links KachelX 29814 KachelY + 1 11379 -1.71240193 1.42194693 -98.113403 81.471558
    Unten rechts KachelX + 1 29815 KachelY + 1 11379 -1.71235399 1.42194693 -98.110657 81.471558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42195404-1.42194693) × R
    7.10999999986583e-06 × 6371000     		dl = 45.2978099991452m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42195404-1.42194693) × R
    7.10999999986583e-06 × 6371000     		dr = 45.2978099991452m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71240193--1.71235399) × cos(1.42195404) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.148293319249615 × 6371000     		do = 45.2925967688402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71240193--1.71235399) × cos(1.42194693) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.148300350633595 × 6371000     		du = 45.2947443344956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42195404)-sin(1.42194693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148293319249615-0.148300350633595)×R²
    abs(-1.71235399--1.71240193)×7.0313839803382e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.0313839803382e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.0313839803382e-06×40589641000000     		ar = 2051.70408291823m²