Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29813 / 19349
↖ ↑ ↗
← N 59.116768°
W 16.232300°		 ← 313.54 m → N 59.116768°
W 16.226806°		 →
↑
313.58 m
↓
↑
313.58 m
↓
N 59.113948°
W 16.232300°		 ← 313.57 m →
98 325 m²		 N 59.113948°
W 16.226806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454917907714844 y=0.295249938964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454917907714844 × 216)
    floor (0.454917907714844 × 65536)
    floor (29813.5)     		tx = 29813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295249938964844 × 216)
    floor (0.295249938964844 × 65536)
    floor (19349.5)     		ty = 19349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29813 / 19349 ti = "16/29813/19349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29813/19349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29813 ÷ 216
    29813 ÷ 65536     		x = 0.454910278320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19349 ÷ 216
    19349 ÷ 65536     		y = 0.295242309570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454910278320312 × 2 - 1) × π
    -0.090179443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28330708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295242309570312 × 2 - 1) × π
    0.409515380859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.28653051200307
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28330708} λ = -0.28330708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28653051200307))-π/2
    2×atan(3.62020448569395)-π/2
    2×1.30128928630671-π/2
    2.60257857261341-1.57079632675     		φ = 1.03178225
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28330708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.232300°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03178225 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.116768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29813 KachelY 19349 -0.28330708 1.03178225 -16.232300 59.116768
    Oben rechts KachelX + 1 29814 KachelY 19349 -0.28321120 1.03178225 -16.226806 59.116768
    Unten links KachelX 29813 KachelY + 1 19350 -0.28330708 1.03173303 -16.232300 59.113948
    Unten rechts KachelX + 1 29814 KachelY + 1 19350 -0.28321120 1.03173303 -16.226806 59.113948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03178225-1.03173303) × R
    4.9219999999961e-05 × 6371000     		dl = 313.580619999751m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03178225-1.03173303) × R
    4.9219999999961e-05 × 6371000     		dr = 313.580619999751m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28330708--0.28321120) × cos(1.03178225) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.513290107016409 × 6371000     		do = 313.544021540308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28330708--0.28321120) × cos(1.03173303) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.513332347744965 × 6371000     		du = 313.569824351863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03178225)-sin(1.03173303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.513290107016409-0.513332347744965)×R²
    abs(-0.28321120--0.28330708)×4.22407285562976e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.22407285562976e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.22407285562976e-05×40589641000000     		ar = 98325.3743226013m²