Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29811 / 21655
↖ ↑ ↗
← N 76.085613°
W 98.121643°		 ← 73.45 m → N 76.085613°
W 98.118896°		 →
↑
73.39 m
↓
↑
73.39 m
↓
N 76.084953°
W 98.121643°		 ← 73.45 m →
5 391 m²		 N 76.084953°
W 98.118896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29811 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21655 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227443695068359 y=0.165218353271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227443695068359 × 217)
    floor (0.227443695068359 × 131072)
    floor (29811.5)     		tx = 29811
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165218353271484 × 217)
    floor (0.165218353271484 × 131072)
    floor (21655.5)     		ty = 21655
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29811 / 21655 ti = "17/29811/21655"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29811/21655.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29811 ÷ 217
    29811 ÷ 131072     		x = 0.227439880371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21655 ÷ 217
    21655 ÷ 131072     		y = 0.165214538574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.227439880371094 × 2 - 1) × π
    -0.545120239257812 × 3.1415926535     		Λ = -1.71254574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.165214538574219 × 2 - 1) × π
    0.669570922851562 × 3.1415926535     		Φ = 2.10351909222768
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71254574} λ = -1.71254574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10351909222768))-π/2
    2×atan(8.19495804196876)-π/2
    2×1.44937039576389-π/2
    2.89874079152778-1.57079632675     		φ = 1.32794446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71254574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.121643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32794446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.085613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29811 KachelY 21655 -1.71254574 1.32794446 -98.121643 76.085613
    Oben rechts KachelX + 1 29812 KachelY 21655 -1.71249780 1.32794446 -98.118896 76.085613
    Unten links KachelX 29811 KachelY + 1 21656 -1.71254574 1.32793294 -98.121643 76.084953
    Unten rechts KachelX + 1 29812 KachelY + 1 21656 -1.71249780 1.32793294 -98.118896 76.084953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32794446-1.32793294) × R
    1.15200000001536e-05 × 6371000     		dl = 73.3939200009788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32794446-1.32793294) × R
    1.15200000001536e-05 × 6371000     		dr = 73.3939200009788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71254574--1.71249780) × cos(1.32794446) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.24047178255505 × 6371000     		do = 73.4462721359471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71254574--1.71249780) × cos(1.32793294) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.240482964497706 × 6371000     		du = 73.4496873890573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32794446)-sin(1.32793294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.24047178255505-0.240482964497706)×R²
    abs(-1.71249780--1.71254574)×1.1181942655536e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.1181942655536e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.1181942655536e-05×40589641000000     		ar = 5390.63515087359m²