Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29811 / 17921
↖ ↑ ↗
← N 62.912732°
W 16.243286°		 ← 278.12 m → N 62.912732°
W 16.237793°		 →
↑
278.16 m
↓
↑
278.16 m
↓
N 62.910230°
W 16.243286°		 ← 278.14 m →
77 365 m²		 N 62.910230°
W 16.237793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29811 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17921 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454887390136719 y=0.273460388183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454887390136719 × 216)
    floor (0.454887390136719 × 65536)
    floor (29811.5)     		tx = 29811
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273460388183594 × 216)
    floor (0.273460388183594 × 65536)
    floor (17921.5)     		ty = 17921
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29811 / 17921 ti = "16/29811/17921"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29811/17921.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29811 ÷ 216
    29811 ÷ 65536     		x = 0.454879760742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17921 ÷ 216
    17921 ÷ 65536     		y = 0.273452758789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454879760742188 × 2 - 1) × π
    -0.090240478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28349882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273452758789062 × 2 - 1) × π
    0.453094482421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.42343829731795
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28349882} λ = -0.28349882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42343829731795))-π/2
    2×atan(4.15136957270445)-π/2
    2×1.33441531949171-π/2
    2.66883063898342-1.57079632675     		φ = 1.09803431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28349882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.243286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09803431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.912732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29811 KachelY 17921 -0.28349882 1.09803431 -16.243286 62.912732
    Oben rechts KachelX + 1 29812 KachelY 17921 -0.28340295 1.09803431 -16.237793 62.912732
    Unten links KachelX 29811 KachelY + 1 17922 -0.28349882 1.09799065 -16.243286 62.910230
    Unten rechts KachelX + 1 29812 KachelY + 1 17922 -0.28340295 1.09799065 -16.237793 62.910230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09803431-1.09799065) × R
    4.36600000000009e-05 × 6371000     		dl = 278.157860000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09803431-1.09799065) × R
    4.36600000000009e-05 × 6371000     		dr = 278.157860000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28349882--0.28340295) × cos(1.09803431) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.455347081359836 × 6371000     		do = 278.120428399777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28349882--0.28340295) × cos(1.09799065) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.455385952035487 × 6371000     		du = 278.144170133076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09803431)-sin(1.09799065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455347081359836-0.455385952035487)×R²
    abs(-0.28340295--0.28349882)×3.88706756517254e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.88706756517254e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.88706756517254e-05×40589641000000     		ar = 77364.6851730479m²