Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29810 / 42540
↖ ↑ ↗
← S 47.204642°
W 16.248779°		 ← 415 m → S 47.204642°
W 16.243286°		 →
↑
414.94 m
↓
↑
414.94 m
↓
S 47.208374°
W 16.248779°		 ← 414.97 m →
172 196 m²		 S 47.208374°
W 16.243286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29810 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454872131347656 y=0.649116516113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454872131347656 × 216)
    floor (0.454872131347656 × 65536)
    floor (29810.5)     		tx = 29810
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649116516113281 × 216)
    floor (0.649116516113281 × 65536)
    floor (42540.5)     		ty = 42540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29810 / 42540 ti = "16/29810/42540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29810/42540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29810 ÷ 216
    29810 ÷ 65536     		x = 0.454864501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42540 ÷ 216
    42540 ÷ 65536     		y = 0.64910888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454864501953125 × 2 - 1) × π
    -0.09027099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28359470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64910888671875 × 2 - 1) × π
    -0.2982177734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.936878766174377
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28359470} λ = -0.28359470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.936878766174377))-π/2
    2×atan(0.391848980920512)-π/2
    2×0.373459947451312-π/2
    0.746919894902625-1.57079632675     		φ = -0.82387643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28359470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.248779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82387643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.204642°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29810 KachelY 42540 -0.28359470 -0.82387643 -16.248779 -47.204642
    Oben rechts KachelX + 1 29811 KachelY 42540 -0.28349882 -0.82387643 -16.243286 -47.204642
    Unten links KachelX 29810 KachelY + 1 42541 -0.28359470 -0.82394156 -16.248779 -47.208374
    Unten rechts KachelX + 1 29811 KachelY + 1 42541 -0.28349882 -0.82394156 -16.243286 -47.208374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82387643--0.82394156) × R
    6.51299999999688e-05 × 6371000     		dl = 414.943229999801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82387643--0.82394156) × R
    6.51299999999688e-05 × 6371000     		dr = 414.943229999801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28359470--0.28349882) × cos(-0.82387643) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.679381852993541 × 6371000     		do = 415.001410386215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28359470--0.28349882) × cos(-0.82394156) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.679334060141282 × 6371000     		du = 414.972216051679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82387643)-sin(-0.82394156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679381852993541-0.679334060141282)×R²
    abs(-0.28349882--0.28359470)×4.77928522585325e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.77928522585325e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.77928522585325e-05×40589641000000     		ar = 172195.968745107m²