Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2981 / 3437
↖ ↑ ↗
← N 27.800210°
W 48.999023°		 ← 4 322.49 m → N 27.800210°
W 48.955078°		 →
↑
4 323.30 m
↓
↑
4 323.30 m
↓
N 27.761330°
W 48.999023°		 ← 4 324.04 m →
18 690 752 m²		 N 27.761330°
W 48.955078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.36395263671875 y=0.41961669921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.36395263671875 × 213)
    floor (0.36395263671875 × 8192)
    floor (2981.5)     		tx = 2981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.41961669921875 × 213)
    floor (0.41961669921875 × 8192)
    floor (3437.5)     		ty = 3437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2981 / 3437 ti = "13/2981/3437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2981/3437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2981 ÷ 213
    2981 ÷ 8192     		x = 0.3638916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3437 ÷ 213
    3437 ÷ 8192     		y = 0.4195556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3638916015625 × 2 - 1) × π
    -0.272216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.85519429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4195556640625 × 2 - 1) × π
    0.160888671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.505446669593872
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85519429} λ = -0.85519429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.505446669593872))-π/2
    2×atan(1.65772581083062)-π/2
    2×1.02800076146786-π/2
    2.05600152293571-1.57079632675     		φ = 0.48520520
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85519429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.999023°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48520520 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.800210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2981 KachelY 3437 -0.85519429 0.48520520 -48.999023 27.800210
    Oben rechts KachelX + 1 2982 KachelY 3437 -0.85442730 0.48520520 -48.955078 27.800210
    Unten links KachelX 2981 KachelY + 1 3438 -0.85519429 0.48452661 -48.999023 27.761330
    Unten rechts KachelX + 1 2982 KachelY + 1 3438 -0.85442730 0.48452661 -48.955078 27.761330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48520520-0.48452661) × R
    0.000678589999999979 × 6371000     		dl = 4323.29688999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48520520-0.48452661) × R
    0.000678589999999979 × 6371000     		dr = 4323.29688999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85519429--0.85442730) × cos(0.48520520) × R
    0.000766990000000023 × 0.884579264528319 × 6371000     		do = 4322.4906405909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85519429--0.85442730) × cos(0.48452661) × R
    0.000766990000000023 × 0.884895548348582 × 6371000     		du = 4324.03615935635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48520520)-sin(0.48452661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884579264528319-0.884895548348582)×R²
    abs(-0.85442730--0.85519429)×0.000316283820263275×R²
    0.000766990000000023×0.000316283820263275×6371000²
    0.000766990000000023×0.000316283820263275×40589641000000     		ar = 18690751.9289908m²