Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2981 / 3436
↖ ↑ ↗
← N 27.839076°
W 48.999023°		 ← 4 320.94 m → N 27.839076°
W 48.955078°		 →
↑
4 321.70 m
↓
↑
4 321.70 m
↓
N 27.800210°
W 48.999023°		 ← 4 322.49 m →
18 677 184 m²		 N 27.800210°
W 48.955078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3436 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.36395263671875 y=0.41949462890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.36395263671875 × 213)
    floor (0.36395263671875 × 8192)
    floor (2981.5)     		tx = 2981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.41949462890625 × 213)
    floor (0.41949462890625 × 8192)
    floor (3436.5)     		ty = 3436
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2981 / 3436 ti = "13/2981/3436"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2981/3436.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2981 ÷ 213
    2981 ÷ 8192     		x = 0.3638916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3436 ÷ 213
    3436 ÷ 8192     		y = 0.41943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3638916015625 × 2 - 1) × π
    -0.272216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.85519429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41943359375 × 2 - 1) × π
    0.1611328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.506213659987793
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85519429} λ = -0.85519429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.506213659987793))-π/2
    2×atan(1.65899775832668)-π/2
    2×1.02833993267461-π/2
    2.05667986534922-1.57079632675     		φ = 0.48588354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85519429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.999023°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48588354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.839076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2981 KachelY 3436 -0.85519429 0.48588354 -48.999023 27.839076
    Oben rechts KachelX + 1 2982 KachelY 3436 -0.85442730 0.48588354 -48.955078 27.839076
    Unten links KachelX 2981 KachelY + 1 3437 -0.85519429 0.48520520 -48.999023 27.800210
    Unten rechts KachelX + 1 2982 KachelY + 1 3437 -0.85442730 0.48520520 -48.955078 27.800210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48588354-0.48520520) × R
    0.000678339999999999 × 6371000     		dl = 4321.70414m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48588354-0.48520520) × R
    0.000678339999999999 × 6371000     		dr = 4321.70414m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85519429--0.85442730) × cos(0.48588354) × R
    0.000766990000000023 × 0.884262690120614 × 6371000     		do = 4320.94370187186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85519429--0.85442730) × cos(0.48520520) × R
    0.000766990000000023 × 0.884579264528319 × 6371000     		du = 4322.4906405909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48588354)-sin(0.48520520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884262690120614-0.884579264528319)×R²
    abs(-0.85442730--0.85519429)×0.000316574407705605×R²
    0.000766990000000023×0.000316574407705605×6371000²
    0.000766990000000023×0.000316574407705605×40589641000000     		ar = 18677183.7070034m²