Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29809 / 29329
↖ ↑ ↗
← S 80.446754°
E147.491455°		 ← 202.75 m → S 80.446754°
E147.502442°		 →
↑
202.73 m
↓
↑
202.73 m
↓
S 80.448577°
E147.491455°		 ← 202.71 m →
41 098 m²		 S 80.448577°
E147.502442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909713745117188 y=0.895065307617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909713745117188 × 215)
    floor (0.909713745117188 × 32768)
    floor (29809.5)     		tx = 29809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.895065307617188 × 215)
    floor (0.895065307617188 × 32768)
    floor (29329.5)     		ty = 29329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29809 / 29329 ti = "15/29809/29329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29809/29329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29809 ÷ 215
    29809 ÷ 32768     		x = 0.909698486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29329 ÷ 215
    29329 ÷ 32768     		y = 0.895050048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909698486328125 × 2 - 1) × π
    0.81939697265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.57421151
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.895050048828125 × 2 - 1) × π
    -0.79010009765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.48217266232651
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57421151} λ = 2.57421151}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48217266232651))-π/2
    2×atan(0.0835614773511243)-π/2
    2×0.0833677982175636-π/2
    0.166735596435127-1.57079632675     		φ = -1.40406073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57421151} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.491455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40406073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.446754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29809 KachelY 29329 2.57421151 -1.40406073 147.491455 -80.446754
    Oben rechts KachelX + 1 29810 KachelY 29329 2.57440326 -1.40406073 147.502442 -80.446754
    Unten links KachelX 29809 KachelY + 1 29330 2.57421151 -1.40409255 147.491455 -80.448577
    Unten rechts KachelX + 1 29810 KachelY + 1 29330 2.57440326 -1.40409255 147.502442 -80.448577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40406073--1.40409255) × R
    3.18200000000157e-05 × 6371000     		dl = 202.7252200001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40406073--1.40409255) × R
    3.18200000000157e-05 × 6371000     		dr = 202.7252200001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57421151-2.57440326) × cos(-1.40406073) × R
    0.000191749999999935 × 0.16596410727865 × 6371000     		do = 202.74826754274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57421151-2.57440326) × cos(-1.40409255) × R
    0.000191749999999935 × 0.16593272848095 × 6371000     		du = 202.709933971853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40406073)-sin(-1.40409255))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16596410727865-0.16593272848095)×R²
    abs(2.57440326-2.57421151)×3.13787976994884e-05×R²
    0.000191749999999935×3.13787976994884e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.13787976994884e-05×40589641000000     		ar = 41098.3015545162m²