Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29807 / 42658
↖ ↑ ↗
← S 47.643186°
W 16.265259°		 ← 411.52 m → S 47.643186°
W 16.259766°		 →
↑
411.57 m
↓
↑
411.57 m
↓
S 47.646887°
W 16.265259°		 ← 411.49 m →
169 360 m²		 S 47.646887°
W 16.259766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454826354980469 y=0.650917053222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454826354980469 × 216)
    floor (0.454826354980469 × 65536)
    floor (29807.5)     		tx = 29807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650917053222656 × 216)
    floor (0.650917053222656 × 65536)
    floor (42658.5)     		ty = 42658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29807 / 42658 ti = "16/29807/42658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29807/42658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29807 ÷ 216
    29807 ÷ 65536     		x = 0.454818725585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42658 ÷ 216
    42658 ÷ 65536     		y = 0.650909423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454818725585938 × 2 - 1) × π
    -0.090362548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28388232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650909423828125 × 2 - 1) × π
    -0.30181884765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.948191874484711
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28388232} λ = -0.28388232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.948191874484711))-π/2
    2×atan(0.387440932337688)-π/2
    2×0.369632931566437-π/2
    0.739265863132874-1.57079632675     		φ = -0.83153046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28388232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.265259°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83153046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.643186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29807 KachelY 42658 -0.28388232 -0.83153046 -16.265259 -47.643186
    Oben rechts KachelX + 1 29808 KachelY 42658 -0.28378645 -0.83153046 -16.259766 -47.643186
    Unten links KachelX 29807 KachelY + 1 42659 -0.28388232 -0.83159506 -16.265259 -47.646887
    Unten rechts KachelX + 1 29808 KachelY + 1 42659 -0.28378645 -0.83159506 -16.259766 -47.646887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83153046--0.83159506) × R
    6.46000000000813e-05 × 6371000     		dl = 411.566600000518m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83153046--0.83159506) × R
    6.46000000000813e-05 × 6371000     		dr = 411.566600000518m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28388232--0.28378645) × cos(-0.83153046) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.673745595682701 × 6371000     		do = 411.515569934349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28388232--0.28378645) × cos(-0.83159506) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.673697857242766 × 6371000     		du = 411.486411879079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83153046)-sin(-0.83159506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.673745595682701-0.673697857242766)×R²
    abs(-0.28378645--0.28388232)×4.77384399343306e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77384399343306e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77384399343306e-05×40589641000000     		ar = 169360.063783136m²