Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29806 / 13646
↖ ↑ ↗
← N 71.832265°
W 16.270752°		 ← 190.44 m → N 71.832265°
W 16.265259°		 →
↑
190.43 m
↓
↑
190.43 m
↓
N 71.830553°
W 16.270752°		 ← 190.46 m →
36 268 m²		 N 71.830553°
W 16.265259°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29806 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454811096191406 y=0.208229064941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454811096191406 × 216)
    floor (0.454811096191406 × 65536)
    floor (29806.5)     		tx = 29806
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208229064941406 × 216)
    floor (0.208229064941406 × 65536)
    floor (13646.5)     		ty = 13646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29806 / 13646 ti = "16/29806/13646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29806/13646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29806 ÷ 216
    29806 ÷ 65536     		x = 0.454803466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13646 ÷ 216
    13646 ÷ 65536     		y = 0.208221435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454803466796875 × 2 - 1) × π
    -0.09039306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28397819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208221435546875 × 2 - 1) × π
    0.58355712890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.83329878906943
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28397819} λ = -0.28397819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83329878906943))-π/2
    2×atan(6.25448489162784)-π/2
    2×1.41225293370938-π/2
    2.82450586741876-1.57079632675     		φ = 1.25370954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28397819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.270752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25370954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.832265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29806 KachelY 13646 -0.28397819 1.25370954 -16.270752 71.832265
    Oben rechts KachelX + 1 29807 KachelY 13646 -0.28388232 1.25370954 -16.265259 71.832265
    Unten links KachelX 29806 KachelY + 1 13647 -0.28397819 1.25367965 -16.270752 71.830553
    Unten rechts KachelX + 1 29807 KachelY + 1 13647 -0.28388232 1.25367965 -16.265259 71.830553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25370954-1.25367965) × R
    2.98899999999769e-05 × 6371000     		dl = 190.429189999853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25370954-1.25367965) × R
    2.98899999999769e-05 × 6371000     		dr = 190.429189999853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28397819--0.28388232) × cos(1.25370954) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.311799904540314 × 6371000     		do = 190.443568380387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28397819--0.28388232) × cos(1.25367965) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.311828304318418 × 6371000     		du = 190.460914617524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25370954)-sin(1.25367965))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.311799904540314-0.311828304318418)×R²
    abs(-0.28388232--0.28397819)×2.83997781038159e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.83997781038159e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.83997781038159e-05×40589641000000     		ar = 36267.6660851716m²