Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29804 / 17918
↖ ↑ ↗
← N 62.920235°
W 16.281738°		 ← 278.05 m → N 62.920235°
W 16.276245°		 →
↑
278.03 m
↓
↑
278.03 m
↓
N 62.917734°
W 16.281738°		 ← 278.07 m →
77 309 m²		 N 62.917734°
W 16.276245°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454780578613281 y=0.273414611816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454780578613281 × 216)
    floor (0.454780578613281 × 65536)
    floor (29804.5)     		tx = 29804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273414611816406 × 216)
    floor (0.273414611816406 × 65536)
    floor (17918.5)     		ty = 17918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29804 / 17918 ti = "16/29804/17918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29804/17918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29804 ÷ 216
    29804 ÷ 65536     		x = 0.45477294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17918 ÷ 216
    17918 ÷ 65536     		y = 0.273406982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45477294921875 × 2 - 1) × π
    -0.0904541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28416994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273406982421875 × 2 - 1) × π
    0.45318603515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.42372591871567
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28416994} λ = -0.28416994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42372591871567))-π/2
    2×atan(4.15256376715311)-π/2
    2×1.33448079488963-π/2
    2.66896158977925-1.57079632675     		φ = 1.09816526
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28416994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.281738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09816526 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.920235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29804 KachelY 17918 -0.28416994 1.09816526 -16.281738 62.920235
    Oben rechts KachelX + 1 29805 KachelY 17918 -0.28407407 1.09816526 -16.276245 62.920235
    Unten links KachelX 29804 KachelY + 1 17919 -0.28416994 1.09812162 -16.281738 62.917734
    Unten rechts KachelX + 1 29805 KachelY + 1 17919 -0.28407407 1.09812162 -16.276245 62.917734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09816526-1.09812162) × R
    4.36400000001225e-05 × 6371000     		dl = 278.03044000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09816526-1.09812162) × R
    4.36400000001225e-05 × 6371000     		dr = 278.03044000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28416994--0.28407407) × cos(1.09816526) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.455230490836502 × 6371000     		do = 278.049216334027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28416994--0.28407407) × cos(1.09812162) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.455269346308202 × 6371000     		du = 278.072948780938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09816526)-sin(1.09812162))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455230490836502-0.455269346308202)×R²
    abs(-0.28407407--0.28416994)×3.88554716999612e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.88554716999612e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.88554716999612e-05×40589641000000     		ar = 77309.4451429691m²