Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29803 / 42605
↖ ↑ ↗
← S 47.446665°
W 16.287231°		 ← 413.06 m → S 47.446665°
W 16.281738°		 →
↑
413.10 m
↓
↑
413.10 m
↓
S 47.450380°
W 16.287231°		 ← 413.03 m →
170 628 m²		 S 47.450380°
W 16.281738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29803 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42605 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454765319824219 y=0.650108337402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454765319824219 × 216)
    floor (0.454765319824219 × 65536)
    floor (29803.5)     		tx = 29803
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650108337402344 × 216)
    floor (0.650108337402344 × 65536)
    floor (42605.5)     		ty = 42605
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29803 / 42605 ti = "16/29803/42605"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29803/42605.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29803 ÷ 216
    29803 ÷ 65536     		x = 0.454757690429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42605 ÷ 216
    42605 ÷ 65536     		y = 0.650100708007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454757690429688 × 2 - 1) × π
    -0.090484619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28426581
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650100708007812 × 2 - 1) × π
    -0.300201416015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.943110563124985
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28426581} λ = -0.28426581}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.943110563124985))-π/2
    2×atan(0.389414650640277)-π/2
    2×0.37134790153881-π/2
    0.742695803077621-1.57079632675     		φ = -0.82810052
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28426581} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.287231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82810052 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.446665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29803 KachelY 42605 -0.28426581 -0.82810052 -16.287231 -47.446665
    Oben rechts KachelX + 1 29804 KachelY 42605 -0.28416994 -0.82810052 -16.281738 -47.446665
    Unten links KachelX 29803 KachelY + 1 42606 -0.28426581 -0.82816536 -16.287231 -47.450380
    Unten rechts KachelX + 1 29804 KachelY + 1 42606 -0.28416994 -0.82816536 -16.281738 -47.450380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82810052--0.82816536) × R
    6.48399999999549e-05 × 6371000     		dl = 413.095639999713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82810052--0.82816536) × R
    6.48399999999549e-05 × 6371000     		dr = 413.095639999713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28426581--0.28416994) × cos(-0.82810052) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.676276227625482 × 6371000     		do = 413.061248975372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28426581--0.28416994) × cos(-0.82816536) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.676228461939311 × 6371000     		du = 413.032074278433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82810052)-sin(-0.82816536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676276227625482-0.676228461939311)×R²
    abs(-0.28416994--0.28426581)×4.77656861712639e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77656861712639e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77656861712639e-05×40589641000000     		ar = 170627.775093987m²