Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29802 / 29278
↖ ↑ ↗
← S 80.353314°
E147.414551°		 ← 204.70 m → S 80.353314°
E147.425537°		 →
↑
204.64 m
↓
↑
204.64 m
↓
S 80.355155°
E147.414551°		 ← 204.66 m →
41 886 m²		 S 80.355155°
E147.425537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909500122070312 y=0.893508911132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909500122070312 × 215)
    floor (0.909500122070312 × 32768)
    floor (29802.5)     		tx = 29802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.893508911132812 × 215)
    floor (0.893508911132812 × 32768)
    floor (29278.5)     		ty = 29278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29802 / 29278 ti = "15/29802/29278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29802/29278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29802 ÷ 215
    29802 ÷ 32768     		x = 0.90948486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29278 ÷ 215
    29278 ÷ 32768     		y = 0.89349365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90948486328125 × 2 - 1) × π
    0.8189697265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.57286928
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89349365234375 × 2 - 1) × π
    -0.7869873046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.47239353480402
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57286928} λ = 2.57286928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47239353480402))-π/2
    2×atan(0.0843826442981577)-π/2
    2×0.0841832153634317-π/2
    0.168366430726863-1.57079632675     		φ = -1.40242990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57286928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.414551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40242990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.353314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29802 KachelY 29278 2.57286928 -1.40242990 147.414551 -80.353314
    Oben rechts KachelX + 1 29803 KachelY 29278 2.57306102 -1.40242990 147.425537 -80.353314
    Unten links KachelX 29802 KachelY + 1 29279 2.57286928 -1.40246202 147.414551 -80.355155
    Unten rechts KachelX + 1 29803 KachelY + 1 29279 2.57306102 -1.40246202 147.425537 -80.355155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40242990--1.40246202) × R
    3.21199999999688e-05 × 6371000     		dl = 204.636519999801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40242990--1.40246202) × R
    3.21199999999688e-05 × 6371000     		dr = 204.636519999801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57286928-2.57306102) × cos(-1.40242990) × R
    0.000191739999999996 × 0.167572099179795 × 6371000     		do = 204.701977544487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57286928-2.57306102) × cos(-1.40246202) × R
    0.000191739999999996 × 0.167540433275828 × 6371000     		du = 204.66329525075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40242990)-sin(-1.40246202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167572099179795-0.167540433275828)×R²
    abs(2.57306102-2.57286928)×3.16659039666933e-05×R²
    0.000191739999999996×3.16659039666933e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.16659039666933e-05×40589641000000     		ar = 41885.5424197943m²