Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29801 / 42634
↖ ↑ ↗
← S 47.554287°
W 16.298218°		 ← 412.22 m → S 47.554287°
W 16.292725°		 →
↑
412.20 m
↓
↑
412.20 m
↓
S 47.557994°
W 16.298218°		 ← 412.19 m →
169 911 m²		 S 47.557994°
W 16.292725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29801 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454734802246094 y=0.650550842285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454734802246094 × 216)
    floor (0.454734802246094 × 65536)
    floor (29801.5)     		tx = 29801
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650550842285156 × 216)
    floor (0.650550842285156 × 65536)
    floor (42634.5)     		ty = 42634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29801 / 42634 ti = "16/29801/42634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29801/42634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29801 ÷ 216
    29801 ÷ 65536     		x = 0.454727172851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42634 ÷ 216
    42634 ÷ 65536     		y = 0.650543212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454727172851562 × 2 - 1) × π
    -0.090545654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28445756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650543212890625 × 2 - 1) × π
    -0.30108642578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.945890903302948
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28445756} λ = -0.28445756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.945890903302948))-π/2
    2×atan(0.388333449191629)-π/2
    2×0.370408725219231-π/2
    0.740817450438461-1.57079632675     		φ = -0.82997888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28445756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.298218°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82997888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.554287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29801 KachelY 42634 -0.28445756 -0.82997888 -16.298218 -47.554287
    Oben rechts KachelX + 1 29802 KachelY 42634 -0.28436169 -0.82997888 -16.292725 -47.554287
    Unten links KachelX 29801 KachelY + 1 42635 -0.28445756 -0.83004358 -16.298218 -47.557994
    Unten rechts KachelX + 1 29802 KachelY + 1 42635 -0.28436169 -0.83004358 -16.292725 -47.557994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82997888--0.83004358) × R
    6.47000000000286e-05 × 6371000     		dl = 412.203700000182m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82997888--0.83004358) × R
    6.47000000000286e-05 × 6371000     		dr = 412.203700000182m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28445756--0.28436169) × cos(-0.82997888) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.674891345031308 × 6371000     		do = 412.215379623964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28445756--0.28436169) × cos(-0.83004358) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.674843600381257 × 6371000     		du = 412.18621777563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82997888)-sin(-0.83004358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.674891345031308-0.674843600381257)×R²
    abs(-0.28436169--0.28445756)×4.77446500513068e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77446500513068e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77446500513068e-05×40589641000000     		ar = 169910.694426449m²