Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29801 / 42535
↖ ↑ ↗
← S 47.185979°
W 16.298218°		 ← 415.10 m → S 47.185979°
W 16.292725°		 →
↑
415.13 m
↓
↑
415.13 m
↓
S 47.189713°
W 16.298218°		 ← 415.07 m →
172 318 m²		 S 47.189713°
W 16.292725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29801 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454734802246094 y=0.649040222167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454734802246094 × 216)
    floor (0.454734802246094 × 65536)
    floor (29801.5)     		tx = 29801
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649040222167969 × 216)
    floor (0.649040222167969 × 65536)
    floor (42535.5)     		ty = 42535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29801 / 42535 ti = "16/29801/42535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29801/42535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29801 ÷ 216
    29801 ÷ 65536     		x = 0.454727172851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42535 ÷ 216
    42535 ÷ 65536     		y = 0.649032592773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454727172851562 × 2 - 1) × π
    -0.090545654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28445756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649032592773438 × 2 - 1) × π
    -0.298065185546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.936399397178177
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28445756} λ = -0.28445756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.936399397178177))-π/2
    2×atan(0.39203686620275)-π/2
    2×0.373622813389225-π/2
    0.747245626778451-1.57079632675     		φ = -0.82355070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28445756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.298218°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82355070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.185979°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29801 KachelY 42535 -0.28445756 -0.82355070 -16.298218 -47.185979
    Oben rechts KachelX + 1 29802 KachelY 42535 -0.28436169 -0.82355070 -16.292725 -47.185979
    Unten links KachelX 29801 KachelY + 1 42536 -0.28445756 -0.82361586 -16.298218 -47.189713
    Unten rechts KachelX + 1 29802 KachelY + 1 42536 -0.28436169 -0.82361586 -16.292725 -47.189713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82355070--0.82361586) × R
    6.51600000000085e-05 × 6371000     		dl = 415.134360000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82355070--0.82361586) × R
    6.51600000000085e-05 × 6371000     		dr = 415.134360000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28445756--0.28436169) × cos(-0.82355070) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.679620832707647 × 6371000     		do = 415.104092855038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28445756--0.28436169) × cos(-0.82361586) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.679573032262128 × 6371000     		du = 415.074896927514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82355070)-sin(-0.82361586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679620832707647-0.679573032262128)×R²
    abs(-0.28436169--0.28445756)×4.78004455191083e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78004455191083e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78004455191083e-05×40589641000000     		ar = 172317.911865524m²