Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29800 / 29672
↖ ↑ ↗
← S 81.052297°
E147.392578°		 ← 190.01 m → S 81.052297°
E147.403565°		 →
↑
189.98 m
↓
↑
189.98 m
↓
S 81.054006°
E147.392578°		 ← 189.97 m →
36 094 m²		 S 81.054006°
E147.403565°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909439086914062 y=0.905532836914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909439086914062 × 215)
    floor (0.909439086914062 × 32768)
    floor (29800.5)     		tx = 29800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905532836914062 × 215)
    floor (0.905532836914062 × 32768)
    floor (29672.5)     		ty = 29672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29800 / 29672 ti = "15/29800/29672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29800/29672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29800 ÷ 215
    29800 ÷ 32768     		x = 0.909423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29672 ÷ 215
    29672 ÷ 32768     		y = 0.905517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909423828125 × 2 - 1) × π
    0.81884765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.57248578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905517578125 × 2 - 1) × π
    -0.81103515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.54794208860522
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57248578} λ = 2.57248578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54794208860522))-π/2
    2×atan(0.078242516602716)-π/2
    2×0.0780834364547252-π/2
    0.15616687290945-1.57079632675     		φ = -1.41462945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57248578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.392578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41462945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.052297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29800 KachelY 29672 2.57248578 -1.41462945 147.392578 -81.052297
    Oben rechts KachelX + 1 29801 KachelY 29672 2.57267753 -1.41462945 147.403565 -81.052297
    Unten links KachelX 29800 KachelY + 1 29673 2.57248578 -1.41465927 147.392578 -81.054006
    Unten rechts KachelX + 1 29801 KachelY + 1 29673 2.57267753 -1.41465927 147.403565 -81.054006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41462945--1.41465927) × R
    2.98199999999582e-05 × 6371000     		dl = 189.983219999734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41462945--1.41465927) × R
    2.98199999999582e-05 × 6371000     		dr = 189.983219999734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57248578-2.57267753) × cos(-1.41462945) × R
    0.000191749999999935 × 0.155532881655793 × 6371000     		do = 190.005072896258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57248578-2.57267753) × cos(-1.41465927) × R
    0.000191749999999935 × 0.155503424474705 × 6371000     		du = 189.969086847646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41462945)-sin(-1.41465927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155532881655793-0.155503424474705)×R²
    abs(2.57267753-2.57248578)×2.94571810878497e-05×R²
    0.000191749999999935×2.94571810878497e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.94571810878497e-05×40589641000000     		ar = 36094.357195918m²