Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 298 / 229
↖ ↑ ↗
← N 18.646245°
E 29.531250°		 ← 74.080 km → N 18.646245°
E 30.234375°		 →
↑
74.224 km
↓
↑
74.224 km
↓
N 17.978733°
E 29.531250°		 ← 74.366 km →
5 509.20 km²		 N 17.978733°
E 30.234375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5830078125 y=0.4482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5830078125 × 29)
    floor (0.5830078125 × 512)
    floor (298.5)     		tx = 298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4482421875 × 29)
    floor (0.4482421875 × 512)
    floor (229.5)     		ty = 229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 298 / 229 ti = "9/298/229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/298/229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 298 ÷ 29
    298 ÷ 512     		x = 0.58203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 229 ÷ 29
    229 ÷ 512     		y = 0.447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58203125 × 2 - 1) × π
    0.1640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51541754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447265625 × 2 - 1) × π
    0.10546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.331339850173828
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51541754} λ = 0.51541754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.331339850173828))-π/2
    2×atan(1.39283306644223)-π/2
    2×0.948117348829763-π/2
    1.89623469765953-1.57079632675     		φ = 0.32543837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51541754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.531250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32543837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.646245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 298 KachelY 229 0.51541754 0.32543837 29.531250 18.646245
    Oben rechts KachelX + 1 299 KachelY 229 0.52768939 0.32543837 30.234375 18.646245
    Unten links KachelX 298 KachelY + 1 230 0.51541754 0.31378809 29.531250 17.978733
    Unten rechts KachelX + 1 299 KachelY + 1 230 0.52768939 0.31378809 30.234375 17.978733
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32543837-0.31378809) × R
    0.01165028 × 6371000     		dl = 74223.9338799997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32543837-0.31378809) × R
    0.01165028 × 6371000     		dr = 74223.9338799997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51541754-0.52768939) × cos(0.32543837) × R
    0.0122718500000001 × 0.94751065997265 × 6371000     		do = 74080.1320804619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51541754-0.52768939) × cos(0.31378809) × R
    0.0122718500000001 × 0.951171150272265 × 6371000     		du = 74366.3236942666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32543837)-sin(0.31378809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94751065997265-0.951171150272265)×R²
    abs(0.52768939-0.51541754)×0.00366049029961479×R²
    0.0122718500000001×0.00366049029961479×6371000²
    0.0122718500000001×0.00366049029961479×40589641000000     		ar = 5509202272.43348m²